线性代数 作者 侯亚君第4章 向量组的线性相关性 4.3 向量组的秩.pptVIP

4.3 向量组的秩 * * 首页 上页 下页 返回 结束 前面我们已经利用矩阵的秩， 组的线性组合及线性相关性． 讨论了有限的向量 为了进一步研究向量组， 并把关于有限的向量组的一些重要结论 推广到无限的 向量组上去， 下面在向量组中引入最大无关组和秩的 概念． 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 定义4.5 设向量组 若在 中有一个含 向量的部分组 个 线性无关， 且 中任 意 个向量（如果有的话）都线性相关， 则称部 分组 是向量组 的一个最大线性无关组 （简称 最大无关组）， 所含向量个数 称为向量组 的 秩， 记作 特别地， 只含零向量的向量组， 因为没有最大 无关组， 规定它的秩为0． 首页 上页 下页 返回 结束 例4.8 设 为全体 维向量组成的向量组， 求 的一个最大无关组 及 的秩． 解 是无限的向量组， 由例4.4知， 中 个单位坐标向量组成的向量组 线性无 关， 又由定理4.5（2） 中任意 都线性相关， 个向量 向量组 是 的一个最大无关组， 的秩等于 显然， 中任意 个线性无关的向量 都是 . 首页 上页 下页 返回 结束 的最大无关组. 因此，向量组的最大无关组一般不唯 一． 对于有限的向量组 它可构成矩 阵 式和矩阵的秩的定义， 利用第3章矩阵的最高阶非零子 可证得向量组 的秩 就等于 矩阵 的秩， 即有 定理4.6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩， 等于它的行向量组的秩． 也 首页 上页 下页 返回 结束 证 设 阶子式 且 的 由定理4.4 所在的 列线性无 关； 又 中所有 阶子式全为零， 中任意 个列向量都线性相关， 所在的 列是 的列向量组的一个最大无关组， 于 的列向量组的秩等 转置矩阵 的列向量就是矩阵 的行向量， 由 首页 上页 下页 返回 结束 上面的证明知， 的秩等于 的列向量组的秩， 也 就是 的行向量组的秩； 又 所以 的秩等于 的行向量组的秩． 今后，有限的向量组 的秩 之前的定理4.1～4.4中矩阵的秩也都 可以理解为向量组的秩． 由定理4.6的证明可知， 若 是矩阵 高阶非零子式， 的一个最 则 所在的 列 是 的列向量组的 也记作 首页 上页 下页 返回 结束 一个最大无关组， 所在的 行 是 一个最大无关组． 的行向量组的 例4.9 设矩阵 求矩阵 的列向量组的一个最大无关组， 最大无关组的列向量用这个最大无关组线性表示． 并把不属于 首页 上页 下页 返回 结束 解 对 进行初等行变换， 把 变成行阶梯形 矩阵： 矩阵 的列向量组的最大无关组应 含有3个列向量． 又 行的非零首元素在第1，2，4列上， 的行阶梯形矩阵的三个非零 且 首页 上页 下页 返回 结束 向量组 线性无关， 故 是 量组的一个最大无关组． 的列向 为了把余下的向量 用最大无关组 线性表示， 需将 的行阶梯形矩阵进一步化简为行 最简形矩阵 首页 上页 下页 返回 结束 由于方程组 与 同解， 所以向量 之间的线性关系 与向 量 之间的线性关系相同． 首页 上页 下页 返回 结束 首页 上页 下页 返回 结束 例4.10 利用定义4.5求向量组的最大无关组， 要判断向量 组的任意 个 向量都线性相关， 有时不太方便， 下面将给出最大无关组的等价定义． 我们先讨论向量组 与它的最大无关组 的等价关系． 由于 组是 组的一部分， 所以 组一定可由 组线性表示； 反之， 对于 的任一向量 组 由最大无关组的定义知， 个向量 首页 上页 下页 返回 结束 线性相关， 而 线性无关， 定理4.5（3）知， 可由 线性表示， 即 组可由 组线性表示． 因此， 组与它的最大无关 等价．