线性代数 作者 侯亚君第5章相似矩阵与二次型 5.8应用举例.pptVIP

5.8 应用举例 首页 上页 下页 返回 结束 矩阵相似对角化的应用 二次型理论的应用 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 5.8.1 矩阵相似对角化的应用 首页 上页 下页 返回 结束 如果有A=PΛP-1（其中Λ为对角矩阵）， 较大的 n值我们也能快速地计算An， 很多应用中的一个基本思想. 则对于 这是线性代数 首页 上页 下页 返回 结束 物的基因型为AA，Aa，aa，农场计划采用AA型植物 例5.17 （基因问题）农场的植物园中，某种植 双亲体基因型与其后代基因型的概率（见下表）， 与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，已知 父体-母体基因型 AA- AA AA -Aa AA- aa 后代 基因型 AA 1 1/2 0 Aa 0 1/2 1 aa 0 0 0 首页 上页 下页 返回 结束 问：经过若干年后三种基因型分布如何？ 解 用 分别代表第n代植物 中，基因型为AA，Aa和aa的植物占植物总数的百分 率，令 为第n代植物基因型分布， 表示植物基因型的初始分布， 显然 有 由已知表得关系式： 其中 首页 上页 下页 返回 结束 即 首页 上页 下页 返回 结束 得A的特征值 由 这样，递推得到 求得对应特征值 的线性无关 的特征向量分别为 下面，我们利用对角化计算 故 首页 上页 下页 返回 结束 可见，当 首页 上页 下页 返回 结束 时， 通过本问题的讨论，可以对许多植物(动物)遗 即在足 够长的时间后，培育出的植物基本上呈现 AA 型. 传分布有一个具体的了解，同时这个结果也验证了 生物学中的一个重要结论：显性基因多次遗传后占 主导因素，这也是之所以称它为显性的原因. 5.8.2 二次型理论的应用 首页 上页 下页 返回 结束 二次型的一个重要的应用就在于研究二次曲线 和二次曲面的分类. 何知道，二次方程 由解析几 这里以二次曲面为例. 首页 上页 下页 返回 结束 叉项消去，即变成标准形； 到二次曲面的标准方程. 注意到在一般的可逆线性变换之下， 要改变， 量不变的性质， 解析几何的要求. 通过下例加以说明. 向量的长度 但正交变换却具有保持向量长度及夹角等度 因此，正交变换是直角变换，它符合 一般来说表示空间二次曲面. 型， 要判断该二次曲面的类 需要用直角坐标变换将其中三元二次型部分的交 再通过坐标平移，即可得 例5.18 作直角坐标变换，把二次曲面方程 首页 上页 下页 返回 结束 化成标准方程，并指出它是什么曲面. . 成平方和的形式. 设 解 首先把二次曲面的二次项部分用正交变换化 该二次型的矩阵是 （5-11） 首页 上页 下页 返回 结束 求出A的特征值 其相应的特征向 量互相正交， 将它们单位化得 不难求得 首页 上页 下页 返回 结束 取正交矩阵 作正交变换 （5-12） 首页 上页 下页 返回 结束 把二次型 f 化成下述标准形 因此作直角坐标变换（5-12），也就是把 代入二次曲面方程（5-11），整理得 将新方程的左端配方得 首页 上页 下页 返回 结束 作坐标系的平移 得到在直角坐标系 下的方程 （5-13） 上式是二次曲面（5-11）的标准方程， 面（5-11）是椭圆抛物面. 所以二次曲 首页 上页 下页 返回 结束 把式（5-13）代入式（5-12）就得到化方程（5-11） 为标准方程的直角坐标变换公式如下： * * * * * * * * * *