线性代数 作者 薛有才第2章 第4讲：2.1-2.2矩阵概念矩阵运算.PPTVIP

统计软件分析与应用 线 性 代 数 A 2.1-2.2 矩阵概念及运算 线 性 代 数 A 2.1-2.2 矩阵概念及运算 第 二 章 矩 阵 及 其 运 算 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 矩阵理论是线性代数中最重要的一个部分，是 数学中极其重要并且应用广泛的工具. §1 矩阵 ( matrix ) 一、矩阵概念的引入 1. 线性方程组 的解取决于系数 及常数项 将方程组中的未知量去掉，其系数与常数项按原 位置可排为以下数表： 对线性方程组的研究 可转化为对这张数表 的研究. 2. 某航空公司在A,B,C,D四城市 之间开辟了若干航线 ,如图所示 表示了四城市间的航班图,如果 从A到B有航班, 则用带箭头的 线连接 A 与B. 四城市间的航班图情况常用表格来表示: 发站 到站 为便于处理，进行量化：把表中的√记成1，空白处以0表示，则得到一个数表: 这个数表反映了四城市 间航班联接情况. 3. 某企业生产 4 种产品,各种产品的季度产值 (单位:万元)如下表： 数表 具体描述了这家企业各种产品各 季度的产值，同时也揭示了产值随季度变化的规律、 季增长率和年产量等情况. 二、矩阵的定义 由m×n个数 排成的 m 行 n 列的数表 称为 m 行 n 列矩阵 ( 简称为m×n矩阵 ). 其中 ai j 称为 A 的第i 行第 j 列的元素 ( 也称为矩阵 A 的(i, j) 元 ). 也记 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数 的矩阵称为复矩阵. 几种特殊矩阵： 1. 行数与列数都等于 n 的矩阵 An×n 称为n 阶矩阵 ( n 阶方阵); 也记作 而形如 不全为0 的方阵称为n阶对角矩阵 (对角阵), 也记作 n 阶方阵 称为 n 阶单位矩阵 (单位阵), 也记作 2. 只有一行的矩阵 称为 n 元行矩阵 (行向量). 只有一列的矩阵 称为 m 元列矩阵 (列向量). 3. 元素都为 0 的矩阵称为零矩阵, 记作 O . m×n 零矩阵可记作 注意：不同型的零矩阵是不相等的. 同型矩阵、矩阵相等、负矩阵的概念： 1. 行数相等、列数相等的矩阵称为同型矩阵. 2. 若两同型矩阵 A=(ai j) 与 B=(bi j ) 的对应元素 相等, 即 ai j = bi j (i=1,…, m; j=1,…, n), 则称 A 与 B 相等，记作 A=B. 3. 矩阵 A=(ai j) m×n 的负矩阵 线性变换： 称为变量x1, x2,…, xn 到变量y1, y2, …, ym的线性变换, 称为该线性变换的系数矩阵. 例: 恒等变换 与 n 阶单位阵 En 有一一对应关系. 思考: 矩阵与行列式的有何区别? 矩阵与行列式有本质的区别：行列式是一个算式， 一个数字行列式经过计算可求得其值；而矩阵仅仅 是一个数表，它的行数和列数可以不同. §2 矩阵的运算 一、矩阵的加法 矩阵A=(ai j)m×n 与矩阵 B=(bi j)m×n的和 A+B =( ai j + bi j )m×n . 矩阵加法满足： 对同型矩阵A、B、C , 而矩阵A=(ai j)m×n 与矩阵 B=(bi j)m×n的差 即 二、数与矩阵相乘 数 与矩阵A=(ai j)m×n 的乘积 (或 ) 定义为 数乘矩阵满足： 对同型矩阵A、B及任意的数 矩阵的加法运算和数乘矩阵运算统称为矩阵的线性 运算. 解: A+C 没有意义; 例: 已知 (1) 求 A+B, A+C ; (2) 求 中的 X . 三、矩阵与矩阵相乘 １、定义： 设 A=(ai j) 是一 m×s 矩阵， B=(bi j) 是 一 s×n 矩阵，则规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一 个 m×n 矩阵 C =( ci j ) m×n ，其中 ( 即 ci j 为A中第 i 行元素与 B 中第 j 列对应元素的 乘积之和 ), 并记 注：矩阵相乘时，左边矩阵的列数与右边矩阵的行数要相等. 例: 已知 解: 求 AB . 而 BA 没有意义 例: 求 解: 例: 已知 解: 求