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第一章 弹性力学基础理论 第一章 弹性力学基础理论 1.1 弹性力学的基本概念 1.1.1 弹性力学及其基本假设 1.1.1 弹性力学及其基本假设 1.1.1 弹性力学及其基本假设 1.1.1 弹性力学及其基本假设 1.1.1 弹性力学及其基本假设 1.2 应力状态的描述 1.2.1 应力坐标变换 1.2.1 应力坐标变换 1.2.1 应力坐标变换 1.2.1 应力坐标变换 1.2.1 应力坐标变换 1.2.2 任意截面上的应力分解 1.2.2 一点的应力状态——任意截面上的应力 1.2.2 一点的应力状态——任意截面上的应力 1.2.3 主应力 1.2.3 主应力 1.2.3 主应力 1.2.3 主应力 1.2.3 主应力 1.3 平衡微分方程 1.3 平衡微分方程 1.3 平衡微分方程 1.4 几何方程 1.4 几何方程 1.4 几何方程 1.4 几何方程 1.4 几何方程 1.4 几何方程 1.5 应变状态的描述 1.5 应变状态的描述 1.5 应变状态的描述 1.6 相容性条件 1.6 相容性条件 1.6 相容性条件 1.7 物理方程 1.7 物理方程 1.7.1 广义胡克定律 1.7.2 线弹性结构的物理方程 1.7.2 线弹性结构的物理方程 1.7.2 广义胡克定律 1.7.2 广义胡克定律 1.7.2 广义胡克定律 1.7.3 用位移表达的平衡微分方程 1.7.3 用位移表达的平衡微分方程 1.7.3 用位移表达的平衡微分方程 1.8 边界条件 1.8.1 应力边界条件 1.8.1 应力边界条件 1.8.1 应力边界条件 1.8.2 位移边界条件 1.8.3 圣维南定理 （3）摩尔圆 弹性体内任一点的应力状态可以用摩尔圆来表示，一点的应力状态的具体值在阴影区域表示。 主应力按代数值排列 ，以 和 为坐标轴的横轴和纵轴，沿着 轴标记出 和 ，接着画三个圆，直径分别为( ), ( ) 和 ( ), 如图1-6所示 图1-6 应力摩尔圆 用摩尔圆图形可显示任一可能截面上的应力，如图1.6阴影区，这个阴影区叫做摩尔应力的π平面，这三个圆就叫作摩尔圆。 从图中可以得出以下结论： （1）主应力用图上点A，B和C来表示，这些点相应的剪应力为0。 （2）最大剪应力为 ，对应的正应力为 ，可用图上D点表示。 （3）对于正应力有三个极限值和所对应的平面叫主应力平面 ，主剪应力有 （1.38） 一般情况下物体内不同的点将有不同的应力。各点的应力分量都是点的位置坐标（x, y, z）的函数，而且在一般情况下，都是坐标的单值连续函数。当弹性体在外力作用下保持平衡时，可根据平衡条件来导出应力分量与体积力分量之间的关系式，即平衡微分方程。这是弹性力学基础理论中的一个重要方程式。 图1-7 微小单元体的应力平衡 根据平衡方程，有， 整理得 （1.39） （1.40） 同理可得y方向和z方向上的平衡微分方程。即 （1.41） （1.42） 展开这个式子，略去四阶微量，整理后得到 或 同理，得 和 将上面三个式子联立，得到任意一点处应力分量的另一组关系式 这个结果表明：任意一点处的六个剪应力分量成对相等，即剪应力互等定理 为便于表示，一点的九个应力分量写成应力列阵 ， （1.43） （1.44） （1.45） 弹性体受到外力作用时，其形状和尺寸会发生变化，即产生变形。应变分量与位移分量之间存在的关系式一般称为几何方程，或叫做Cauchy几何方程(Geometrical Equations)。 从物体内P点处取出一个正方微元体，其三个棱边长分别为dx、dy、dz，如图1-8所示。当物体受到外力作用产生变形时，不仅微元体的棱边长度会随之改变，而且各棱边之间的夹角也会发生变化。为研究方便，可将微元体分别投影到三个坐标面上。图1-9为投影到xoy 面的情况。 图1-8 微元体 图1-9 位移与应变 据此，可以求得 根据线应变（正应变）的定义，AB线段的正应变为 因 ，故由上式可得 代入(1.46）式，得 由于只是微小变形的情况，可略去上式中的高阶微量（即平方项）。 当微元体趋于无限小时，AB线段的正应变就是P点沿x方向的正应变。用同样的方法考察AD线段，则可得到P点沿y方向的正应变。 （1