高三数学一轮基础巩固 第3章 第4节 定积分与微积分基本定理(理)（含解析）北师大版.docVIP

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第3章 第4节 定积分与微积分基本定理(理) 北师大版 一、选择题 1．设f(x)＝，则 f(x)dx的值是(　　) A．x2dx　 B．2xdx C．x2dx＋2xdx　 D．2xdx＋x2dx [答案]　D [解析]　由分段函数的积分公式知选D． 2．一物体的下落速度为v(t)＝9.8t＋6.5(单位：m/s)，则下落后第二个4s内经过的路程是(　　) A．249m　 B．261.2m C．310.3m　 D．450m [答案]　B [解析]　所求路程为(9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)| ＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26＝261.2(m)． 3．若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　) A．S1S2S3　 B．S2S1S3 C．S2S3S1　 D．S3S2S1 [答案]　B [解析]　S1＝x2dx＝|＝. S2＝dx＝lnx|＝ln2－ln1＝ln2. S3＝exdx＝ex|＝e2－e＝e(e－1)． e2.7，S33S1S2.故选B． 4．(2014·山东高考)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　) A．2　 B．4 C．2　 D．4 [答案]　D [解析]　如图所示 由解得或 第一象限的交点坐标为(2,8) 由定积分的几何意义得，S＝(4x－x3)dx＝(2x2－)|＝8－4＝4. 5．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为(　　) A．　 B． C．　 D． [答案]　A [解析]　由得交点坐标为(0,0)，(1,1)． 因此所求图形面积为S＝(x2－x3)dx ＝＝. 6.如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是(　　) A．　 B． C．　 D． [答案]　A [解析]　由题图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S＝sinxdx＝－cosx|＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率是＝＝. 二、填空题 7.|x＋2|dx＝________. [答案]　 [解析]　原式＝(－x－2)dx＋ (x＋2)dx＝. 8．(2014·皖南八校联考) dx＝________. [答案]　 [解析]　 dx表示圆x2＋y2＝a2在第二象限的面积，为. 9．(2015·江西七校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝dx(nN*)，则S100＝________. [答案]　ln101 [解析]　依题意，an＝lnx|＝ln(n＋1)－lnn，因此S100＝(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋(ln101－ln100)＝ln101. 三、解答题 10．求下列定积分： (1)(x2－x)dx； (4)设f(x)＝，求f(x)dx. [解析]　(1)(x2－x)dx＝＝－. (3)令f(x)＝3x3＋4sinx，x ∵f(x)在上为奇函数， (4) f(x)dx＝－1x2dx＋(cosx－1)dx ＝x3|＋(sinx－x)|＝sin1－. 一、选择题 1．与定积分dx相等的是(　　) A．sindx　 B．|sin|dx C．|sindx|　 D．以上结论都不对 [答案]　B [解析]　1－cosx＝2sin2， dx ＝|sin|dx＝|sin|dx. 2．(2014·江西高考)若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝(　　) A．－1　 B．－ C．　 D．1 [答案]　B [解析]　本题考查定积分的求法． 根据题设条件可得f(x)dx＝－|＝－. 二、填空题 3．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若 f(x)dx＝2f(a)，则a＝________. [答案]　－1或 [解析]　 f(x)dx＝ (3x2＋2x＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|＝4＝2f(a)． f(a)＝3a2＋2a＋1＝2，解得a＝－1或. 4．(2015·洛阳统考)用min{a，b}表示a，b两个数中的较小的数，设f(x)＝min{x2，}(x≥0)，那么由函数y＝f(x)的图像、x轴、直线x＝和直线x＝4所围成的封闭图形的面积为________． [答案]　 [解析]　如图所示，所求图形的面积为阴影部分的面积，即所求的面积. 三、解答题 5．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，f(x)dx＝－2， (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值． [解析]　(1)设f(