高三数学一轮基础巩固 第3章 第3节 导数在函数最值及生活实际中的应用（含解析）北师大版.docVIP

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第3章 第3节 导数在函数最值及生活实际中的应用 北师大版 一、选择题 1．函数y＝(　　) A．有最大值2，无最小值 B．无最大值，有最小值－2 C．有最大值2，有最小值－2 D．无最值 [答案]　C [解析]　y′＝＝. 令y′＝0，得x＝1或－1，f(－1)＝＝－2，f(1)＝2，故选C． 2．设f ′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f ′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是(　　) [答案]　C [解析]　由y＝f ′(x)的图像易知当x0或x2时，f ′(x)0，故函数y＝f(x)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增；当0x2时，f ′(x)0，故函数y＝f(x)在区间(0,2)上单调递减． 3．已知定义域为R的函数f(x)满足：f(4)＝－3，且对任意xR总有f ′(x)3，则不等式f(x)3x－15的解集为(　　) A．(－∞，4)　 B．(－∞，－4) C．(－∞，－4)(4，＋∞)　 D．(4，＋∞) [答案]　D [解析]　方法一(数形结合法)： 由题意知，f(x)过定点(4，－3)，且斜率k＝f ′(x)3. 又y＝3x－15过点(4，－3)，k＝3. y＝f ′(x)和y＝3x－15在同一坐标系中的草图如图， f(x)3x－15的解集为(4，＋∞)，故选D． 方法二：记g(x)＝f(x)－3x＋15， 则g′(x)＝f ′(x)－30， 可知g(x)在R上为减函数． 又g(4)＝f(4)－3×4＋15＝0， f(x)3x－15可化为f(x)－3x＋150， 即g(x)g(4)，结合其函数单调递减，故得x4. 4．若存在正数x使2x(x－a)1成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，＋∞)　 B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞)　 D．(－1，＋∞) [答案]　D [解析]　由题意得，ax－()x　(x0)， 令f(x)＝x－()x，则f(x)在(0，＋∞)上为增函数， f(x)minf(0)＝－1，a－1，故选D． 5．若函数f(x)＝sin2x＋sinx，则f ′(x)是(　　) A．仅有最小值的奇函数 B．仅有最大值的偶函数 C．既有最大值又有最小值的偶函数 D．非奇非偶函数 [答案]　C [解析]　f(x)＝sinxcosx＋sinx，则f ′(x)＝cosxcosx＋sinx·(－sinx)＋cosx＝cos2x－sin2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1，显然f ′(x)是偶函数，又因为cosx[－1,1]，所以函数f ′(x)既有最大值又有最小值． 6．(文)如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000m2，鱼塘前面要留4m的运料通道，其余各边为2m宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为(　　) A．长102m，宽m　 B．长150m，宽66m C．长、宽均为100米　 D．长150m，宽m [答案]　D [解析]　设鱼塘长、宽分别为ym、xm，依题意xy＝10 000. 设占地面积为S，则S＝(3x＋8)(y＋6)＝18x＋＋30 048， 令S′＝18－＝0，得x＝.此时y＝150. (理)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长20 cm，要使其体积最大，则高为(　　) A． cm　 B．cm C．cm　 D．cm [答案]　D [解析]　设圆锥的高为x cm，则底面半径为(cm)，其体积为V＝πx(202－x2)(0x20)，V′＝π·(400－3x2)，令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当0x时，V′0，当x20时，V′0，当x＝时，V取最大值． 二、填空题 7．函数f(x)＝x2－2lnx的最小值为________． [答案]　1 [解析]　由f ′(x)＝2x－＝0，得x2＝1.又x0，所以x＝1.因为0x1时，f ′(x)0，x1时f ′(x)0，所以当x＝1时，f(x)取极小值(极小值唯一)也即最小值f(1)＝1. 8．函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是________． [答案]　(－∞，0) [解析]　f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，即函数f(x)恰有两个极值点，即f′(x)＝0有两个不等实根． f(x)＝ax3＋x，f′(x)＝3ax2＋1. 要使f′(x)＝0有两个不等实根，则a0. 9．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽) [答案]　d [解析]　下图为圆木的横截面， b2＋h2＝d2， bh2＝b(d2－b2)． 设f(b)＝b(d2－b2)，f ′(b)＝－3b2＋d2. 令f ′(b)＝0，由于b0，b＝d，且在(0，d]上f ′