高考数学复习点拨 直棱柱问题面面观.docVIP

直棱柱问题面面观 以下两个问题及其分析过程对同学们理解和掌握直棱柱的结构，有很好的效果． 例1 斜棱柱即侧棱不垂直于底面的棱柱，斜棱柱底面和侧面中矩形的个数最多可有（ ） （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）6个 这是某复习资料上的一个习题，编题者所给答案为（D）．笔者认为这是错误的． 笔者发现本题绝大多数同学选择（C），这也是错误的．正确答案应该是（A）． 事实上，（1）由于棱柱的所有侧棱相互平行，所以它们只能与底面上的一组平行直线垂直，不能与两条相交直线垂直（否则侧棱与底面垂直，此棱柱为直棱柱），这是斜棱柱概念的关键所在．因此侧面中最多只能有两个矩形． （2）在棱柱中，如果底面不是四边形，那么这种斜棱柱底面和侧面中矩形的个数最多为2；如果底面为四边形，由于两个底面是全等的，因此只有当底面为矩形时，这种棱柱的侧面和底面的矩形个数达到了4个（显然不可能有3个的情况）． （3）在棱柱的侧面和底面的矩形个数达到了4个的情况下，这个所谓“底面”四边形的任意两条邻边垂直，其中的一条边又与侧面矩形中的一条边垂直，从而这条边与这个侧面垂直．所以这个四棱柱是直四棱柱． 例2 P是长方体上底面内任一点，设AP与三条棱，AB，AD所成的角分别为，则的值为（ ）． Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ． Ｄ．不确定 说明：解决本题可用特殊方法，即将P点取成是上底面中的这四个点中的任一个，均得到答案（A），由此可得答案（A）．但这种解法并不严密，因此常常采取如下解法． 解：以AP为一条对角线截得一个小长方体AP，设长方体AP的长、宽、高分别为，又设对角线AP的长为，则由长方体对角线长定理可得，即，所以，故答案为（A）． 上面的解法是一种构造法，从该解法可见：题中的P点可以是除顶点A外的任意点．因此，我们可以获得如下的一般结论． 结论：若P是空间中除A外的任意一点，则AP与长方体的三条棱所成的角满足． 用心 爱心 专心