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高考数学复习点拨 利用一道课本习题结论求直线方程
利用一道课本习题结论求直线方程
课本中习题3.3A组第4题：“已知直线与相交，证明方程表示过与交点的直线系方程（当时，表示直线）．我们常用这个结论来求过两直线的交点的轨迹方程．
例1 求过两直线和的交点，且满足下列条件的直线的方程．
（1）过点；
（2）和直线垂直．
解析：（1）设过两直线交点的直线系方程为，将点代入方程，得，．
所以，满足条件的直线方程为．
（2）将（1）中所设的方程变化，
解得．
由已知，解得，
故所求直线的方程是．
本题先用直线系方程表示所求直线方程，然后再列式，求出方程的待定系数，从而最终求得问题的解，这种方法称之为待定系数法．在已知函数或曲线方程的类型的问题中，我们可以利用待定系数法来求解．
例2已知的三边所在直线的方程分别为，，，求边上的高所在的直线方程．
解析：按常规方法我们可以先解直线与所组成的方程组，得点坐标，然后再求高线的方程．但为了更加方便的求解，我们可以先列出过交点的中心直线系方程．
（为参数），
即．
再利用，且．
得，解得．
所以直线的方程为．
尽管直线系所表示的直线无限多，但这个直线系不包括直线．对于是一点如不加以注意易导致解题错误．
例3 求经过直线与直线的交点，且垂直于直线的直线方程．
错解：两直线显然相交．可设所求直线方程为．
化简得．
解得．
由已知，得．
此方程无解，从而所求直线不存在．
剖析：所设直线方程不包含直线，而实际上直线 ，而实际上直线垂直于直线，符合题意，所以它正是所求的直线．因此所求直线方程．
例4 求经过直线和的交点，且与原点的距离为的直线方程．
错解：两直线显然相交．可设所求直线方程为，
即．
原点到这条直线的距离为，
由点到直线距离公式，得，解得．
将的值代入，
得所求直线的方程为．
剖析：上述解答漏掉一解．我们应当验证是否符合要求．事实上，原点到直线的距离也是．因此所求直线方程为和．
在使用过两直线交点的直线系方程解题时，一定要注意验证是否满足题意，否则易导致漏解．
用心 爱心 专心
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