高考数学复习点拨 例谈概率知识在实际问题中的应用.docVIP

例谈概率知识在实际问题中的应用 高中数学新教材以较多的篇幅充实了概率、统计等内容，旨在介绍一些新的基本数学思想与内容，同时使教材内容更加体现数学的应用意识，其重要性是不言而喻的。因此这部分内容的教学，笔者认为重在应用。通过实际问题使学生初步理解现实世界上大量事件的不确定性，同时能够应用概率知识进行一些简单地判断与决策。下面试举例评说一些概率的典型应用问题。 例1 要进行某种爆破试验，设爆破成功的概率为，失败的概率为，而现有材料只能提供4次试验，问实验在4次内就会爆破成功的概率。 解 以ξ表示首次爆破成功所需的实验次数。 则 P(ξ=k)=(k) P(ξ4)==1-=0.9961 试验在四次就爆破成功的概率为0.9961。 评注：在实际试验常常根据现有的财力、物力，对试验成功率进行估计，概率是最常用的手段之一。其他如比赛胜负、市场变化、天气状况的预测等，其数学模型相似。 例2 某局域网的出口由五条支线，设每条支线在1h内平均上网时间为20min,并且每支线是否上网是随机的，且相互独立。问在此出口除应设置几个接口，使5条支线能随机使用这几个接口之一时,每条支线的上网率不小于0.95? 解 设ξ为任一时刻上网的支线数目，由题意，每条支线任一时刻上网的概率为,五条支线是否上网是相互独立的，因此ξ~B(5,)。 故P(ξ=k)=C,k=0,1,2,3,4,5。 设出口处设置m个接口,则能保证不超过m条支线同时上网,一时每条支线的上网率不小于0.95,即5条支线中不超过m条支线同时上网的概率不小于0.95. 即P(ξm)。 由P(ξ3)=1-P(ξ=4)-P(ξ=5)=0.9550.95, P(ξ2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=0.7900.95, 因此要设置3个接口。 评注：概率在工程设计、交通运输、设备配置发挥最大效益的问题中有广泛应用。实际上在随机的情况下，百分之百地保证是一种浪费，实际问题中往往是在一定的保障系数下安排生产或配置设备。 例3 工厂生产一种斜拉桥钢索，拉断强度服从正态分布，其参数为μ=5.72T/cm2, σ=0.50T/cm2。某大桥根据设计要求，需要采用拉断强度不小于4.20T/cm2的钢索。如果大桥所用钢索合格率在99.9%以上，则认为是安全的。问该大桥能否使用此工厂生产的钢索？ 解　设钢索的拉断强度为ξ。 ξ~N（5.72，0.502）， P(ξ)=1-P(0ξ4.2) =1- =1- = 该大桥可以使用此工厂生产的钢索。 评注：实际问题中，在工程的可靠性、安全性等测试，往往需要概率知识的运用，使我们不希望发生的事件概率越小越好。这需要在工程设计、材料选用，工艺要求等各环节得到一定的保障。 例4( 1)太平洋保险公司新推出一种保险业务，若在1年内事件A发生，则保险公司要赔偿a元，若在1年内事件A发生的概率为p,为使保险公司收益的期望值等与元,保险公司应要求顾客交纳多少保险金? (2)利用下列营利表中的数据进行决策应选择的方案是____。 自然 状况 盈利 方案 概率 A1 A2 A3 A4 S1 0.25 50 70 -2 98 S2 0.30 65 26 52 82 S3 0.45 26 16 78 -10 解:( 1)用ξ表示保险公司的收益额,x为用户交纳的保险金,则ξ的取值为x,x-a,且有 P(ξ=x)=1-p,P(ξ=x-a)=p; Eξ=x(1-p)+(x-a)p=x-ap,又Eξ=， x=,即保险公司要求顾客交纳的保险金。 (2)设方案A1,A2,A3,A4的盈利分别为ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,则 Eξ1=50×0.25+65×0.3+26×0.45=43.7, Eξ2=70×0.25+26×0.3+16×0.45=32.5 Eξ3=(-2)×0.25+52×0.3+78×0.45=50.2 Eξ4=98×0.25+82×0.3+(-10)×0.45=44.6 应选择方案A3 评注：保险、股票等风险投资都带有一定的随机，运用数学期望这一随机变量的总体特征来预期收益的投资是比较客观的。 例5 农科所培养出良种杂交水稻品种进行试验种植，在相同的条件下各种植10亩。收获情况如下: A品种 亩产量(kg) 750 780 800 840 880 亩数 2.5 1.5 2 2.5 1.5 B品种 亩产量(kg) 760 780 800 820 850 亩数 2 2 3 2 1 试评价两种水稻品种产量的优劣状况。 解 设A,B两种水稻的某产量分别为ξ1,ξ2,则随机变量ξ1的概率分布为： ξ1 750 780 800 840 880 P 0.25 0.15 0.2 0.25 0.15 随机变量ξ2的概率分布为： ξ2 760 780 800