高考数学复习点拨 全称量词与存在量词知识点击.docVIP

全称量词与存在量词知识点击 一．知识点点击 1.全称量词（）：对所有的、对任意一个、对一切、对每一个、任给． 存在量词（）：存在一个、至少有一个、有些、对某个、有的、有些． 2．全称命题：含有全称量词的命题。特称命题：含有存在量词的命题 如果用p(x)、q(x)、r(x)…表示含有变量x的语句，变量x的取值范围用M表示．那么 全称命题：“对x∈M,有p(r)成立”（简记成x∈M, p（x）） 特称命题：“x∈M，使P(x)成立”（简记成：x ∈M, p(x)) 3．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下，在应用中灵活选择． 命题 全称命题x∈M，p(x) 特称命题“x∈M, p(x) 表 述 方 法 ①所有的x∈M,使P(x)成立 ①存在x∈M,使p(x)成立 ②对一切x∈M，使p(x)成立 ②至少有一个x∈M，使p(x)成立 ③对每一个x∈M，使p(x)成立 ③对有些x∈M,使P(x)成立 ④任给一个x∈M，使P(x)成立 ④对某个x∈M,使p(x)成立 ⑤若x∈M,则p (x)成立 ⑤有一个x∈M,使P(x)成立 4.对于特称命题和全称命题进行否定时要仔细推敲，认真对待．如：命题“有些三角形是直角三角形，即：三角形x，x是直角三角形，其否定为：三角形x, x都不是直角三角形，即：没有一个三角形是直角三角形． 又如命题：所有的质数都是奇数．即：质数x,x是奇数．它的否定只要举出一个反例x=2. 因此，其否定为：质数x, x不是奇数．也就是说：确实有不是奇数的质数．从命题的形式上看，全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． 二．典例剖析 例1.判定下列命题的真假： （1) x∈Q，使x2=2；(2）x∈R，使x21;（3）x∈N，有x3＞x2；(4) x∈R,有x2+1 0. 分析：要判定一个特称命题真，只要在限定集合中至少找到一个x=x0值，使p (x0)成立，否则，这一命题则假． 要判定一个全称命题真，必须对限定集合M中的每一个x验证p (x)成立；但要判定全称命题假，只要能举出M中一个x=x0，使p(x0）为假． 解：（1）∵使x2=2成立的实数只有，而Q，∴没有一个有理数x，使x2= 2. 可见命题“x∈Q，使x2=2”是假命题． (2）由于x∈R，取x=-1，满足x3＜1.因此命题“x∈R，使x21”是真命题． (3）∵x=1时，x3＞x2不成立．∴命题“x∈N，有x3＞x2”是假命题． (4)由于对x∈R ，都有x2≥0x2+1≥10．因此命题“x∈R,有x2+1 0”是真命题． 例2．试写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)命题P：所有的菱形都是正方形． (2)命题q：对任何实数x，总有x2一2x+ 1≥0成立． (3)命题r：至少有一个实数x，使x2-2=0成立． （4）命题s：x∈R，使x2＋2x＋2≤0成立． 分析：(1)、(2)是全称命题，其否定应为特称命题．(3）、（4)是特称命题，其否定应为全称命题． 解：（l）?P：一个菱形，它不是正方形． ∵由两个全等的等边三角形拼成的菱形就不是正方形，∴?p是真命题． （2）q：x∈R．、x2-2x+1＜0． ∵x2-2x+1=（x-1）2≥0对x∈R 都成立．∴?q是假命题． （3）?r：x∈R，x2-2≠0． ∵存在x=，使x2-2=0，∴?r是假命题． （4)?S：x∈R，x2＋2 x＋2＞0． ∵x2＋2 x＋2=（x＋1)2＋1，(x+1)2≥0，∴对x∈R，都有x2＋2 x＋2=≥1＞0. 可见?S是真命题．