高考数学复习点拨 双曲线常见错误剖析.docVIP

双曲线常见错误剖析 双曲线与椭圆不同，它为非封闭曲线且由两部分组成，求解双曲线问题时，同学们常容易犯一些错误．为此本文就一些常见错误加以点拨，以便使大家在以后的解题中避免出现类似错误． 一、忽视点在双曲线哪一支上 例１　双曲线上的点Ｐ到点（5，0）的距离为，求点Ｐ到点（－5，0）的距离． 错解：设双曲线的两个焦点分别为，由双曲线定义知 ．　∴或． 剖析：由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为１．故不合题意．事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点Ｐ的存在情况，然后再求解．如本题中，因左顶点到右焦点的距离为９＞，故点Ｐ只能在右支上，所以． 二、直线与双曲线有两个交点时，忽视它们是否在同一支上． 例２　过双曲线Ｃ：的右焦点作倾角为的直线交Ｃ于Ａ、Ｂ两点． ① 求 ② 设为左焦点，求的周长． 错解： ，则的方程为代入Ｃ的方程得： ． ①＝ ② ∵　，如图１． ∴． 故的周长为＝10． 剖析：②中利用双曲线的定义解答似乎很简洁明快，然而却是错误的．原因是Ａ、Ｂ两点不同在右支上，其实由知Ａ、Ｂ分别在Ｃ的两支上． 正确解答为：= = 　　　　　　　　　　　　　　 ＝３＋（如图２） 三、忽视元素之间的制约关系 例３　已知双曲线＞０，＞０）的离心率，过点和的直线与原点的距离为．直线与该双曲线交于不同两点Ｃ、Ｄ．且Ｃ、Ｄ两点都在以Ａ为圆心的同一圆上．求的取值范围． 错解：由已知有　解得． 故双曲线方程为．把直线代入双曲线方程并整理得： ．　∴　① 设CD中点为,则AP⊥CD,且易知:. ∴ . 解得. ② 将②代入①得,解得＞4或0． 故的取值范围是． 剖析：上述错解在于减元过程中，忽视了元素之间的制约关系．将代入①式时，受的制约．∵＞０，∴　＞－．故所求的取值范围是＞４或－０． 四、忽视双曲线上点的坐标取值范围 例４ 已知双曲线的左、右焦点分别为、，左准线为．能否在双曲线的左支上找到一点Ｐ，使得是Ｐ到的距离与的等比中项？ 错解：∵，∴＝13，．假设存在点，使，于是可得：． ∴ ．解得． ∴　存在点Ｐ使得是Ｐ到的距离与的等比中项． 　　　　剖析：上述错解在于忽视了点的坐标取值范围．事实上，．而与矛盾，故符合条件的点Ｐ不存在． 1 用心 爱心 专心 图2 B A F2 F1 Ｏ 图1 B A F2 F1 Ｏ