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第三讲 函数的概念和性质 知识、方法、技能 I．函数的定义 设A，B都是非空的数集，f是从A到B的一个对应法则.那么，从A到B的映射f：A→B就叫做从A到B的函数.记做y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合，A叫做函数f(x)的定义域，象的集合C叫做函数的值域，显然CB. II．函数的性质 （1）奇偶性 设函数f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集.若对任意的x∈D，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，f(－x)=f(x),则称f(x)是偶函数. （2）函数的增减性 设函数f(x)在区间D′上满足：对任意x1, x2∈D′，并且x1x2时，总有f(x1)f(x2) (f(x1)f(x2)),则称f(x)在区间D′上的增函数（减函数），区间D′称为f(x)的一个单调增（减）区间. III．函数的周期性 对于函数 f(x),如果存在一个不为零的正数T，使得当x取定义域中的每个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称做这个周期函数的周期.如果函数f(x)的所有周期中存在最小值T0，称T0为周期函数f(x)的最小值正周期. IV．高斯函数 对任意实数x,我们记不超过x的最大整数为[x]，通常称函数y=[x]为取整函数，又称高斯函数. 进一步，记{x}=x－[x]，则函数y={x}称为小数部分函数，它表示的是x的小数部分. 根据高斯函数的定义，可得到其如下性质. 性质1 对任意x∈R，均有 x－1[x]≤x[x]+1. 性质2 对任意x∈R，函数y={x}的值域为. 性质3 高斯函数是一个不减函数，即对任意x1, x2∈R，若x1≤x2, 则[x1] ≤[x2]. 性质3 若n∈Z, x∈R,则有 [x+n]=n+[x], {n+x}={x} 后一个式子表明y={x}是一个以1为周期的函数. 性质4 若x , y ∈R， 则 [x]+ [y]≤[x+y] ≤[x]+ [y]+1. 性质5 若n∈N*, x∈R, 则[nx]≥n[x] 性质6 若n∈N*, x∈R, 则. 性质7 若n∈N*, x∈R+, 则在区间[1,x]内，恰有个整数是n的倍数. 性质8 设p为质数，n∈N*,在p在n!的质因数分解式中的幂次为 赛题精讲 函数是高中数学，也是高等数学的基础.因此，也是高考和高中数学竞赛的重要内容.下面分类介绍此类题目. I 函数的定义域和值域 例1 当x为何值时，才有意义. 【思路分析】应根据对数的意义，从最外层开始一层一层地逐步消去根号和对数符号求出x的范围. 【略解】由0，得≥1 …… ∴ 【评述】这种多层对数及根式问题，一定要逐层由外向内求解，要有耐心。 例2 设A={a|a=7p,p∈N*},在A上定义函数f如下：若a∈A，则f(a)表示a的数字之和，例如f(7)=7，f(42)=6，设函数f的值域是集合M.求证：M={n|n∈N*, n≥2}. 【思路分析】注意从充要条件的角度来进行证明. 【略解】先证M{n|n∈N*,n≥2}. 任取x∈M, 即x是被7整除的正整数的数字之和，由于7×10n，n=0, 1,2，…，所以x的数字之和是大于1的正整数，因此x∈{n|n∈N*，n≥2}.所以 M{n|n∈N*,n≥2}. 再证{n|n∈N*，n≥2} M. 任取x∈{n|n∈N*,n≥2},即x是大于1的正整数.下面分两种情形： 当x=2k(k∈N*)时，由于7|100|，于是取 a=1001， k个1001 则7|a，且f(a)=2k,所以x∈M. 当x=2k+1(k∈N*)时，由于7|100|，7|21，于是取 b100121， k－1个1001 则7|b，且f(b)=2(k－1)+3=2k+1,故x∈M,故x∈M.所以 {n|n∈N*, n≥2}M. 因此 M={n|n∈N*, n≥2}. 【评述】此类题目的证明严谨、科学. 例3 设正实数x, y满足xy=1，求函数 f(x, y) =的值域.（其中（[x]表示不超过x的最大整数） 【思路分析】由x、y的对称性，不妨设x≥y，则有x2≥1，必分x=1与x1两种情况讨论. 【详解】不妨设x≥y，则x2≥1,x≥1.有下面两种情形： （1）当x=1时，y=1，此时f(x,y)=. （2）当x1时，设[x]=n， {x}=x－[x]=α，则x=n+α,0≤α1. 于是，y=1，故[y]=0. . 由函数g(x)=x+在x≥1时是递增的和0≤α1得 综上所述，f(x, y)的值域为. 【评述】本例表面上为“二元函数”实为一元函数，因为y=，消去y后就是关于x的函数了. II．函