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解题策略的谋划　－－清华大学　黄高峰 2006　　　　　　　　　　　　　　 　　对于某一个具体的问题，如何思考分析，从而谋划策略，是十分重要的。策略的谋划过程是一个思维发散的过程。问题本身千变万化，解决问题的策略也比较多，谋划策略的方法不一而足，根据人们的思维方式，我们论述以下几种谋划策略的思想。、降格思想：从对问题的特殊和简单状态的分析中归纳出问题的实质内涵或规律，从而得到问题的一般解法，也就是我们常说的投石问路或者叫做尝试归纳。这种通过特殊求得一般、通过实际求得抽象的思想在谋划策略的过程中是十分有效的，特别是当题目中所给的数据比较大或者很抽象而难以入手时，常用这种思想来谋划策略。 问题一：（台阶问题）一个人登上一个级的台阶，可以一步登级，也可以一步登级。问：一共有几种登法？这道题中的台阶数为，虽然不是很大，但一时也很难入手。我们运用降格思想分析这个问题，先看几种简单的情形：、仅有级台阶时，登法只有种：一步级。、有级台阶时，登法有种：一步级；级＋级（两步）。、有级台阶时，登法有种：级＋级＋级；级＋级；级＋级。　　这里级＋级表示先登级再登级；级＋级表示先登级再登级，显然这两种登法是不同的。、有级台阶时，登法有种：　　级＋级＋级＋级；　　级＋级＋级；　　级＋级＋级；　　级＋级＋级；　　级＋级。、有级台阶时，登法有种：　　级＋级＋级＋级＋级；　　级＋级＋级＋级；　　级＋级＋级＋级；　　级＋级＋级＋级；　　级＋级＋级；　　级＋级＋级＋级；　　级＋级＋级；　　级＋级＋级。按照台阶数递增的次序把登法的种数排列如下：，，，，……容易想到这是菲波那契数列的一部分，这就找到了问题的规律，同时也谋划出解决问题的策略：数学模型（规律）策略。容易得到后继数据是：，，，，……于是得到问题的解：级台阶共有种登法。当然，关于找到的规律的正确性必须给出详细的证明，这里不再详述。应用这个例子无非是为了说明从简单出发考虑问题的优越性，同时指出，敏锐的洞察已有数据的能力对于谋划策略也是相当重要的。、升格思想：这种思想与第一种思想恰恰相反，它是把一些过于具体的问题抽象化，目的是忽略其中的一些次要因素，从而更好地把握其中的主要因素，通过解决一般问题从而解决具体问题。有时会发生这样的情况：由于问题中给出的数据过于具体，往往会形成一种思维定势，一直针对具体的数据进行分析，而忽视了问题中显而易见的东西。运用这一思想有利于突破思维定势，更快地找到解决问题的策略，其关键是在于对抽象问题的分析和推理。 我们把台阶问题抽象化，设有级台阶，登台阶规则不变。对于登级台阶的最后一步有两种情况：（１）由第级台阶跨一步（级）到达第级；（２）由第级台阶跨一步（级）到达第级。　　显然，以上的两类登法是不同的，级台阶的总登法就是这两类登法的总和。我们用表示级台阶的登法种数，则有：以及；。这就迅速地得到了问题的数学模型，也就谋划出解决问题的策略：数学模型（规律）策略。　　从这个例子的分析中可以看出，对问题的抽象概括，寻求问题的一般解法，对于某些问题的解决是十分简便的。适当运用升格思想往往可以一箭中的，迅速描述出问题的本质，从而得到解决问题的策略。、分格思想：把整个问题划分为几个相联系的子问题或几个连续的解题步骤，再一一设法解决，最后综合各个部分的解就可以得到整个问题的解。作为一种思维方法，在分析问题的时候恰当运用，对于谋划解题策略是很有效的。划分问题的方法有很多种，最基本的原则是把难以描述的问题化为易于描述的问题，把不易求解的化为易求解的。　　仍是看上面的台阶问题，由登级台阶所用的步数不同，可以划分为如下的几种情况：、共要登步（全部都是每步登级）：有种登法；、共要登步（只有某一步登级，其余每步登级）：有１９种登法；、共要登步（只有某两步每步登级）：有２８种登法；、共要登步（只有某三步每步登级）：有３７种登法；、共要登步（只有某四步每步登级）：有４６种登法；、共要登步（全部都是每步登级）：有５５种登法；因此总共的登法有种。 　　通过上面的对问题划分的过程以及计算的结果的分析，我们可以得到以下的两种策略：（１）分治策略，直接仿照上面的划分过程由计算机加以实现。（２）数学模型（规律）策略，从中归纳出：对于级台阶的登法有种。通过上面的例子可以看出：分格思想关键在一个分字，也就是如何划分问题，划分中应注意两点：１、划分必须根据统一的标准，不重复，不遗漏；２、划分必须具有启发性，即对于谋划问题的策略有一定的启发作用。、变格思想：通过转换问题某些信息，从而转化问题的形式，达到化显为隐、化繁为简、化难为易、化未知为已知的目的，通过解决等效问题来解决原问题。再看上面的台阶问题，我们运用变格思想对问题进行转化，考虑人在台阶