有心二次曲线中的一个定值.pdfVIP

试题研究试题探究 有心二次曲线中的一个定值 仲建忠 浙江德清县第一中学313200 圈摘要：解析几何中有很多定值问题，笔者最近从一道有关圆的初中平面几何题出发，通过猜想、类比、推 圈 理，发现了有心二次曲线的一个定值． 嗣关键词：有心二次曲线；初中平面几何题；圆；椭圆；双曲线；定值 本文给出有心二次曲线中的一个 (O．COSO，bsinO)，则直线DE的方程为)，= 得点G的横坐*-r-xc= + 定值? sin钟sina ．bsinO+b聋一b．令y=O．即得点G的横坐标 命囊如图1，00的半径为R，AB，acosO aeosO． CD是两条相互垂直的直径，E是0D上石c=!堕．又直线CE的方程为Y= 任意一点(异于A，B，C，D)．直线CE，DEsinO+1 acos{／--acosot 与直线AB分别交于点F，G，则0G·OF=R2．．bsinO-b x+b．47=0．Ft,gt点，的横坐标 acos0 坐标xt-= 因此 却：—aeo—sO．因此就有IOGI．IoFI： sinO-sinot 笊 、． 1-sinO 可得 ’。 I!竺旦．—aeo—sOI：矿将结论进一步推 IocI．IOFI：I『 引心 “／’ sinO+l1一sinO l【 sinO+sina D 广．还可得： 图1 推广2如图3，椭圆的长轴AB=2a， J【 sin0-sina j 这是一道初中平面几何题，证明并 短轴长为26，中心为0，弦CD_LAB．E是 不难．根据／XODG相似于△OFC，可得 =舻I 椭圆上任意一点(异于A，B，C，D)，直线 丝：塑．即有DG．OF=OC．OD=_R2．本文 0CDf’ CE，DE与直线AB分别交于点F和G，则 1 1 f ＼。sin坝cos帆os咿I l——————————}———————一HP—————L———————1 将把这一结论推广到椭圆和双曲线中． IOG…OFI=矿 ＼sin04sinasin0-sina／sini日_sinca 推广1如图2，椭圆的长轴AB=2a， J 可 矛陋+型筹警+ 短轴CD=-2b，AB，CD交于0．E是椭圆上任 飞汊。． 一点(异于A，B，C，D)，直线CE，DE与直