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拓扑空间的性质 王强 07级2班 拓扑学是研究几何图形的，点集拓扑学研究图形之间的一种较强的连续变换，即拓扑变换。 定义1：拓扑空间 设X是一个集合，若∫是X的一个子集族。若果∫满足如下条件： ⑴ X，φ∈∫； 　⑵ 若A，B∈∫，则A∩B∈∫； 　⑶ 若∫ ∫，则∪A∈∫A∈∫， 则称∫是X的一个拓扑。 若果∫是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，∫）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑∫而言的拓扑空间；或者当拓扑∫早已约定或在行文中已有说明而无须指出是，称集合X是一个拓扑空间。此外∫的每一个元素都叫做拓扑空间（X，∫）（或X）中的一个开集。 定义2：设（X，ρ）是一个度量空间。令∫ 为由X中的所有开集构成的集族。（X，∫）是X的一个拓扑。我们称∫为X的由度量ρ诱导出来的拓扑。此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，ρ）的拓扑时，指的就是拓扑∫ ；在称度量空间（X，ρ）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间（X，∫）。 例1 平庸空间 设X是一个集合。令∫={X，φ}。容易验证，∫是X的一个拓扑，称之为X的平庸空间；并且我们称拓扑空间（X，∫）为一个平庸空间。在平庸空间（X，∫）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集φ。 例2 离散空间 设X是一个集合。令∫=∫（X），即由X的所有子集构成的族。容易验证，∫是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；并且我们称拓扑空间（X，∫）为一个离散空间。在离散空间（X，∫）中，X的每一个子集都是开集。 例3 设X=﹛a,b,c﹜.令 ∫=﹛φ，﹛a﹜,﹛a,b﹜,﹛a,b,c﹜﹜ 容易验证，∫是X的一个拓扑，因此（X，∫）是一个拓扑空间这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间。 例4可数补空间 设X是一个集合.令 ∫=﹛U X │U 是X的一个可数子集﹜∪﹛φ﹜ 容易验证，∫是X的一个拓扑，称之为X的可数补拓扑。拓扑空间（X，∫）称为一个可数补空间。 定理 1：设X，Y和Z都是拓扑空间.则 恒同映射i ：X→X是一个连续映射； 如果f:X→Y和g：Y→Z都是连续映射，则gοf:X→Z也是连续映射。 定理2：设X，Y和Z都是拓扑空间，则 恒同映射i :X→X是一个同胚； 如果f:X→Y是一个同胚，则f 1:Y→X也是一个同胚； 如果f:X→Y和g：Y→Z都是同胚，则gοf：X→Z也是一个同胚。 定理3：设X，Y和Z都是拓扑空间，则 X与Y同胚； 如果X与Y同胚，则Y与X同胚； 如果X与Y同胚，Y与Z同胚，则X与Z同胚。 定义3：拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质。换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质。 拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质。 参考文献: 熊金城，点集拓扑讲义，第3版，北京，高等教育出版社：2003.12