（算术平均数与几何平均数A）例题（六）.docVIP

［例1］若a≥b＞0，试比较a，，，，，b的大小，并利用不等号将它们连接起来. 分析：为了探索上述各式之间的大小关系，我们先用特殊值来进行分析和猜想，在此基础上再进行一般性的证明. 观察与猜想： 令a＝4，b＝3，则：a＝4＝；＝；=；=；b＝3＝ 当a＝b时，上述各式都相等，故有猜想： a≥≥≥≥≥b. 解：∵a≥b＞0 ∴（1）a＝＝≥； (2) ＝≥； (3)≥； (4) ＝， 即≥. (5) －b＝≥0 即＞b 综上所述： a≥≥≥≥. 评述：1.对事物的观察和猜想是一种探索问题及找到方向的有效方法，本题为了分析各个式子的大小关系，通过特殊值的代入进行观察，从而发现一般性的结论，这样为进一步论证提供了方向. 2.对于(4)也可以从基本不等式进行推导： ≥≤. . 这里，经历了一次利用基本不等式进行论证的过程. 3.本题所涉及到的一组不等式是重要不等式，除去我们已知的两个正数a、b的算术平均数（）和几何平均数（）外，这里， 和分别叫正数a、b的平方平均数和调和平均数.对于这四种平均数有如下定理：两个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，它们的几何平均数不小于它们的调和平均数.即若a、b∈Ｒ＋，则有 ≥≥≥（当且仅当a＝b时取“＝”号）. ［例2］已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证： (1)（－1）（－1）（－1）≥８ (2)a2＋b2＋c2≥ (3)+≥2７ (4)（1＋）（1＋）（1＋）≥６4 分析：在不等式证明中，n个正数的和为1，常常作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键. 证明：(1)∵a＋b＋c＝1且a，b，c∈R＋ ∴－1＝－1＝＞0； －1＝＞0； －1＝＞0. 三式相乘得： （－1）（－1）（－1）≥＝８ 即（－1）（－1）（－1）≥８. (2)∵a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1 ∴1＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac ≤a2＋b2＋c2＋（a2＋b2）＋（b2＋c2）＋（a2＋c2） ＝3（a2＋b2＋c2） ∴a2＋b2＋c2≥. (3)∵a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1 ∴＋＝（a＋b＋c）2（＋） ≥（3）2·3＝2７ ∴＋≥2７ (4)∵a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1 ∴（1＋）（1＋）（1＋） ＝（1＋）（1＋）（1＋） ＝（2＋）（2＋）（2＋） ≥（2＋）（2＋）（2＋） ＝８（1＋）（1＋）（1＋) ≥８（2)（2）（2）＝６4 即（1＋）（1＋）（1＋）≥６4. 评述：（1）这是一类条件不等式的证明，显然，巧妙地利用已知条件是证明此类题的关键. （2）以上各小题在证题过程中，或是将分子的1看作a＋b＋c，然后拆项，或是将原代数式乘以一个值为1的因式（a＋b＋c），以利于进一步整理变形，这些常用的“1”的变换技巧很重要. （3）本节定理：“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”，可以进一步引申出定理：“n个(n是大于1的整数)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”.(见课本P24“阅读材料”).即，一般地，对于n个正数a1，a2，…，an（n≥2且n∈N)，则有，(当且仅当a1＝a2…＝an时取“＝”号).显然有：若a，b，c为正数，则：（当且仅当a＝b＝c时取“＝”号).