在解决与圆锥曲线有关的问题时，怎样帮助学生运用方程的思想？（抛物线和简单几何性质）.docVIP

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2017-08-25 发布于河南
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在解决与圆锥曲线有关的问题时，怎样帮助学生运用方程的思想？（抛物线和简单几何性质）.doc

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答：有些与圆锥曲线有关的问题，最终归结为某些数值的确定.我们把这些数看成未知数，把题目中给定的条件、关系转换成这些未知数所满足的方程（组），通过解此方程（组）来确定这些数的取值，从而解决问题.这里的难点是未知数的确定、列方程（组）及解方程（组）.下面我们看一个例子. 如图所示，已知正方形ABCD的两个顶点A、B在抛物线y2=x上，C、D在直线l:y=x+4上，求正方形的面积. 分析：为了求出正方形的面积，应该先求出边长，而边长与顶点的坐标相关，于是本题归结为确定正方形ABCD的边长.另外，从对图形的直观分析可知，BD∥x轴，AC∥y轴. 解法一：设A(y12,y1),B(y22,y2)，正方形的边长为d，则 D（y22-d,y2）,C(y12,y1+d ) ∵C、D在l上 ∴ 由①、②，可知y1、y2都是t2-t+4-d=0的实数根，所以 y1+y2=1,y1·y２=4-d 又y1-y2=y12-y22 ④ 将④代入③，得(y1-y2)2=d2，所以 （y1+y2）2-4y1y2=d2 即1-4(4-d)= d2 ∴d2-8d+30=0 (d-3)(d-5)=0 d2=18或d2=50 从而正方形ABCD的面积为18或50（面积单位）. 解法二：设正方形ABCD的边长为d，则直线AB的方程为y=x+4-d，所以有方程组 消去x，得y2-y+4-d=0 弦长|AB|= 令=d 则d 2-，以下同解法一. 说明：解法一中的未知数为y1、y2、d,解题思路是消去y1、y2，得到以d为未知数的方程；解法二只设一个未知数，根据抛物线的弦AB的长度d列出方程. 以上均摘自《中学数学教学参考》2000年11、12期 ① ② ③