2015年《高考风向标》高考理科数学一轮复习第五章第6讲不等式的证明.pptVIP

* 第 6 讲 不等式的证明 常用的证明不等式的方法 (1)比较法：比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形— 判断—结论．为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为 一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式， 也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负． (2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数 与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等 式，这个证明方法叫综合法．利用某些已经证明过的不等式和 不等式的性质时要注意它们各自成立的条件． 综合法证明不等式的逻辑关系是：A? B1?B2?…?Bn? B， 及从已知条件 A 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导 出所要证明的结论 B. (3)分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立 的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备 的问题，即“执果索因”．综合过程有时正好是分析过程的逆 推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写 出证明过程． (4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式 AB，先假设 A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定 AB. 凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有 “至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可 以考虑用反证法． (5)放缩法：要证明不等式 AB 成立，借助一个或多个中间 变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法． 放缩法证明不等式的理论依据主要有：①不等式的传递性； ②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个 分式大小的比较． 常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放 大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩． 值为( ) B A．1 B．2 D. 3 C. 2 A A．A≤G≤H C．H≤G≤A B．A≤H≤G D．G≤H≤A 3．设 a0，且 a≠1，若 P＝loga (a3－1)，Q＝loga (a2－1)， 则 P 与 Q 的大小关系为( ) A A．PQ B．P＝Q C．PQ D．不确定 PQ AB 考点 1 比较法 . 解题思路：左减去右＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋a(c－a)． 当 abc 时，前两项为正，最后一项为负，如何使得三项 之和为正，成为问题的关键，需采用“拆”的技巧，把第三项 并入前两项中去，于是想到 ca(c－a)＝ca[(c－b)＋(b－a)]＝ca(c －b)＋ca(b－a)，问题便迎刃而解． 证明：左一右＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a) ＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca[(c－b)＋(b－a)] ＝a(a－b)(b－c)＋c(b－c)(b－a) ＝(a－b)(b－c)(a－c)． 例 1：已知：abc，求证：a2b＋b2c＋c2aab2＋bc2＋ca2. ∵abc，∴(a－b)(b－c)(c－a)0. 因此：a2b＋b2c＋c2aab2＋bc2＋ca2. 比较法证不等式步骤可归纳为： 第一步：作差并化简，其化简目标应是 n 个因式之积或完 全平方式或常数的形式． 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论． 第三步：得出结论． 【互动探究】 证明：∵a＋b＝1， ∴ax2＋by2－(ax＋by)2 ＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2 ＝a(1－a)x2＋b(1－b)y2－2abxy ＝abx2＋bay2－2abxy ＝ab(x－y)2. 又 a、b∈R+，∴ab(x－y)2 ≥0. ∴ax2＋by2≥(ax＋by)2. 考点 2 综合法 【互动探究】 1＋b 1＋a 考点 3 反证法 例 3：已知 a0，b0，且 a＋b2.求证： 1＋b a ， 1＋a b 中至少 解题思路：由于题目结论是：至少有一个小于 2，情况较复 杂，讨论起来比较繁，宜采用反证法． 证明：假设 1＋b a ， 1＋a b 都不小于 2，则 1＋b a ≥2， 1＋a b ≥2. ∵a0，b0，∴1＋b≥2a,1＋a≥2b， 两式相加可得 1＋b＋1＋a≥2(a＋b)， 即 a＋b≤2，这与已知 a＋b2 矛盾．故假设不成立． 因此： ， a b ，中至少有一个小于 2. 有一个小于 2. 从正难则反的角度考虑，即要证明不等式 AB， 先假设 A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定 AB， 凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、 “至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法． 【互动探究】 3．若 0x、y、z2，求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不可 能都大于 1. 错源：利用放缩法证明不等式时应把