北京大学量子力学课件_第14讲.pptVIP

第 十 四 讲 算符的共同本征函数 (1) Schwartz不等式 如果， , 是任意两个平方可积的波函数，则 (2) 算符“涨落”之间的关系－测不准关系： 如令 例1 ， 所以， 这即为海森堡（Heisenberg）的测不准关系的严格证明。 例2 但在特殊态 时 但这仅是某一特殊态。 例3 在态 下 这时 (3) 算符的共同本征函数组 定理1. 如果两个力学量相应的算符有一组 正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符 ， 必对易 ， 。 定理2：如果两力学量所相应算符对易，则 它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。 (4) 角动量的共同本征函数组―球谐函数 因 ，它们有共同本征函数组。 A. 本征值： 设： 是它们的共同本征函数，则 的本征值为 的本征值为 这表明，角动量的本征值是量子化的。它与 能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。 自由粒子的角动量是量子化的。 B. 本征函数 已求得 的共同本征函数组-球谐函数 称为缔合勒让德函数（Associated Legendre function）。 当 给定，也就是 的本征值给 定，那就唯一地确定了本征函数 。 其性质： 1. 正交归一 2．封闭性 3． 所以， 因此， 4. 宇称 即 5.递推关系 (4) 力学量的完全集 量子力学描述与经典描述大不一样，在量 子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系 测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定 状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将 状态描述完全确定呢？ 设： 是力学量所对应的算符，并且对易 如 是 的本征函数。 ? 的本征函数不简并，则 ? 当 的本征值是两重简并。那问题就不 一样了。 测量 取值 时，并不知处于那一态， 可能为 尽管 也是 的本征态。但一般而言 可求得 的本征值。 若 ，则 一起就唯一地决定 函数 的共同本征态没有一个是简并的。 力学量完全集：设力学量 彼此对 易；它们的共同本征函数 是不简并的， 也就是说，本征值a,b,c…仅对应一个独立的本 征函数，则称这一组力学量为力学量完全集 。 所以，以后要描述一个体系所处的态时，我 们首先集中注意力去寻找一组独立的完全集，以 给出特解，然后得通解。 有了力学量完全集，则可得 完全集相应的本征函数为 §4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守 恒量）恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） （1）力学量的平均值，随时间变化，运动常数 它随时间演化为 若 不显含t，则 当 ，则 （对体系任何态）不随t变。 而取 的几率 也不随 t 变。 我们称与体系 对易的不显含时间的力学量算 符为体系的运动常数。 运动常数并不都能同时取确定值。因尽 管它们都与 对易，但它们之间可能不对易。 如 都是运动常数，但 彼此不对易，不能同时取确定值。 （2）??