北京大学量子力学课件_第19讲.pptVIP

第 十九 讲 Ⅰ. 量子体系状态的表示 在几何学中，一个矢量可以用它在某个坐标 架中的坐标来描述（现限于正交坐标） 显然，当坐标架给定后 如果有一组力学量 构成一力学量完全集 其共同本征函数构成一正交，归一和完备组， 并有封闭性 集合 是与 完全等价的 状态表示的定义：若力学量的完全集 的 共同本征函数组为 ，则 的 全体 ，被称为体系所处态 在表象 中的表示。 对于分立谱：则 在 表象中的表示， 可以用一单列矩阵表示 而归一化 对于连续谱：则 在表象 中的表示 ，它是 的函数 Ⅱ. Dirac符号介绍 一个态矢量可由一组数 表示，但在表 示 （或计算） 时，其实已用到态矢量在 表 象中的表示及 表象的共同本征矢的表示。 而 事实上，一个描述体系处的状态，并不需 要依赖于某一表象，而仅在计算时，才在一个具 体表象中进行。 Dirac建议用一抽象的符号来描述体系所处 的状态 . （1）量子态、Ket矢，Bra矢（Bracket） 量子力学中的状态，可以看作某线性空间中 的一个矢量 ，我们称为 Ket 矢以 表示。 为使 它可代表不同 Ket 矢，则在这表示中给出特征标 志符号。 如态矢量是 的本征矢，它的本征值为 ， 则本征矢可表为 或 中心力场中能量的本征波函数 共轭空间态矢量可以以符号 来表示， 称为Bra矢，如 （2）标积： A. 标积定义：矢量 和矢量 的标积 为一数，它表示为 B．基矢的正交、归一、完备和封闭性， 态矢量的表示 若力学量 形成一力学量完全集，其共同 本征态为 ，它们被称为 N 表象的基矢，相 应本征值为 。它们是正交、归一和完备的。 正交，归一 完备性： 对任一空间态矢量 ，可表为 称为态矢量 在N表象中的表示 封闭性： 在x表象中， 的表示即为 若 就是N表象的本征矢 ，那在自 身表象中的表示 N表象中的基矢在 表象中的表示即为 而 代表 表象中的基矢（本征值为 )在 N 表象中的表示 这样，在坐标表象中，本征函数组的封闭 性就易于了解。 由本征矢 的封闭性： Ⅰ 即 而二个矢量的标积 （3）算符及其表示 A.?算符的自然展开：在量子力学中，可观测 力学量是以厄密算符表示，其本征方程为 则 或 称为算符 的自然展开。 B.?? 算符的表示 算符 是将一态矢量变为另一态矢量 设： 是一力学量完全集，其正交，归一，完备组基矢为 则 和 分别是态矢量 ， 在表象 中的表示。 而 是将态矢量 表示变到态 矢量 表示，所以它起到算符 同样的作用。 的全体称为算符在表象 中的矩 阵表示。 显然，计算这一表示，其结果与在那一个 表象中计算是无关的 为力学量 在表象 中的算符。