北京大学量子力学课件_第20讲.pptVIP

第 二十 讲 I. 算符及其表示 A.?算符的自然展开：在量子力学中，可观测 力学量是以厄密算符表示，其本征方程为 则 或 称为算符 的自然展开。 B.?? 算符的表示 算符 是将一态矢量变为另一态矢量 而 是将态矢量 表示变到态 矢量 表示，所以它起到算符 同样的作用。 的全体称为算符在表象 中的矩 阵表示。 显然，计算这一表示，其结果与在那一个 表象中计算是无关的 为力学量 在表象 中的算符。 事实上，矩阵 描述了表象 中的本 征态，即基矢 ，在算符 作用下，所得到 的新的态矢量在 表象中的表示。 即 这表明， 表象中的基矢 在 作用下 所产生的新的态矢量在表象 中的表示正是算 符 在表象 中矩阵表示的第 列元素集合 于是，我们求算符 在某表象中的矩阵表 示。只要将它作用于该表象的基矢上，将所得展 开系数形成的矩阵转置，即得 在该表象中的 表示。 其系数矩阵为： 转置 这即为在表象 中的矩阵表示 显然，算符在其自身表象中的表示为 系数矩阵为， 转置同。 所以是对角矩阵，而矩阵元为其本征值。 例： 给出方程 在 表象 中的表示式 所以在 表象中， 算符的形式为 Ⅱ. 不可约张量算符的矩阵元计算简介 A.??不可约张量算符的G. Racah定义 若 满足以下的对易关系 其中 ，则称 为 秩不可约张 量算符。 B.???Wigner-Eckart定理 维格纳-埃伽定理：矩阵元 与 投影量子数的关系完全包含在C-G系数中 C.??一秩张量的投影定理 Ⅲ . 表象变换： （1） 同一状态在不同表象中的表示间的关系 对于态 在 表象中，其表示为 就是态 在表象 中的表示 在 表象中其表示为 则有 构成一矩阵形式 即 矩阵的矩阵元正是 表象基矢与 表象基 矢的标积，其第 列，是 表象中第 个基矢在 表象中的表示。 是一个幺正算符。 （2）两表象的基矢之间关系 ∴ 基矢的变换是经 来实现 （3）力学量在不同表象中的矩阵表示之间的关 系。 对于算符在表象中的矩阵表示为 §6.4平均值，本征方程和薛定谔方程的矩阵形、 式。 （1）平均值： A.力学量 在体系（处于态 ）中的平均值 设： 构成力学量完全集，共同本征矢为 ， 则 是 在 中的表示。 若 包括力学量 B. 对于两个算符乘积的平均值 （2）本征方程：对于算符的本征方程为 在 表象，则 算符的本征方程在 表象中的矩阵形式 为 从而得 要方程组有非零解，即 不全为 ，则要 求系数行列式为 ，即 由这方程求出 . 然后代入方程组求出相应的 例1：某力学量 在 表象中的矩阵为 由系数行列式 代入方程得