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叶县融通高中二年级高中部教学设计（新授课）

数学学科编写人杨颖

使用时间：2025年月日

2.5.1直线和圆的位置关系

【教学目标】

1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．【重点】

2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．【难点】

3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．【重点】

【教学过程】

【知识要点】

直线与圆的三种位置关系

位置关系

交点个数

相交

有2公共点

相切

只有1公共点

相离

0公共点

直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断

位置关系

相交

相切

相离

公共点个数

两个

一个

0

判定方法

几何法：设圆心到直线的距离

代数法：由

消元得到一元二次方程的判别式

直线与圆位置关系判断的三种方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．

(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．

(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．

圆的切线方程

(1)点在圆上时：

求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.

(2)点在圆外时

①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．

②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．

提醒

切线的斜率不存在的情况，不要漏解．

直线与圆相交时的弦长

①交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式

求解.

②弦长公式：

将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0).

③几何法：直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，

圆的半径为r，弦长为|AB|，

则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，即|AB|＝2eq\r(r2－d2).

【典型例题】

题型一直线与圆的位置关系

【例1-1】（衔接P91L1）已知直线l：3x＋y－6＝0与圆C：x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系;如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.

题型二圆的切线方程

【例2-1】求过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程。

题型三直线与圆相交

【例3-1】求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|.