广西壮族自治区南宁市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）.docxVIP

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广西壮族自治区南宁市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．直线的倾斜角为（????）

A．30° B．60° C．120° D．150°

2．若，则（???）

A． B． C． D．

3．记等差数列的前项和为，则（????）

A．120 B．140 C．160 D．180

4．已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是（????）

A． B． C． D．

5．下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（????）

A． B． C． D．

6．已知，则（）

A． B． C． D．

7．设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（????）

A．4 B．2 C． D．

8．已知圆：和圆：，若位于第一象限的点在两圆的公共弦上，则的最小值为（???）

A．2 B． C． D．

二、多选题

9．已知圆C：，直线l：，则（???）

A．直线l恒过定点

B．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1

C．直线l被圆C截得的最小弦长为

D．圆C与圆外切

10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则（???）

A．椭圆C的离心率为 B．的周长为4

C．点P可能在以，为直径的圆上 D．若，则的面积为

11．大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中每一项代表了太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则（???）

A． B．

C． D．

三、填空题

12．已知正方形的边长为，为的中点，则．

13．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且，则．

14．祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为．

??

四、解答题

15．已知是等差数列的前n项和，且，

(1)求

(2)若，求数列前n项和为，并证明

16．如图，在直三棱柱中，分别是与的中点.

(1)求证：平面；

(2)若，，，求直线与平面所成角的余弦值.

17．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5.

(1)求的方程；

(2)设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求.

18．已知函数．

(1)化简并求的最小正周期；

(2)已知在的值域为，求m的取值范围；

(3)在锐角三角形ABC中，，，求的范围．

19．由甲、乙两个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，规则如下：

①一共2道相同的密码锁，每一道密码锁都必须在1分钟以内解锁完毕才算解锁成功，否则视为解锁失败；

②第一关开始前，2人需决定由谁先开始解锁，且第一位解锁人有2次连续解锁机会，第二位解锁人也有2次连续解锁机会，第一位用完2次机会后若仍然有密码锁未被解锁成功，则替换为下一位解锁人解锁；

③若2道密码锁均被解锁成功，团队立刻进入下一关，否则视为该团队失败，淘汰出局.现根据以往100次的测试，分别获得如下甲、乙解开1道密码锁所需时间的频率分布直方图，其中

(1)求a、b的值，并求出甲解开1道密码锁的时间在1分钟以内的频率；

(2)以甲、乙解开1道密码锁所需时间位于各区间的频率代替概率，且甲、乙2人每次是否成功解开密码锁相互独立，解答下列问题：

（i）若2人决定由甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过3次就进入下一关的概率；

（ii）你认为甲、乙两人进入下一关的概率是否与他们的出场顺序有关?试通过计算说明理由.

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《广西壮族自治区南宁市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

C

C

B

A

B

B

C

ACD