专题03 导数及其应用-2025高考数学三模试题分类汇编（新高考通用）（解析版）.docxVIP

专题03导数及其应用

题型概览

题型01导数的几何意义

题型02利用导数研究函数的单调性

题型03利用导数研究函数的极值、最值

题型04利用导数研究函数的零点、方程的根

题型05利用导数研究不等式证明及恒成立

题型06三次函数的图象与性质

题型01

题型01

1．（2025·湖南省郴州市·三模）曲线在点处的切线方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由导数的几何意义求解即可.

【详解】根据题意可得，所以所求切线的斜率，所以所求切线的方程为，即.故选：B.

2．（2025·安徽省安庆市·三模）曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（???）

A． B． C． D．1

【答案】A

【详解】，所以在点处的切线方程为，它与的交点为，与的交点为，所以三角形面积为故选：A

3．（2025·安徽省安庆市·三模）已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数．

【答案】

【分析】由导数的几何意义求出切线方程，结合切线经过坐标原点，即可求得的值.

【详解】因为，所以，所以，又，所以在处的切线方程为：，又切线方程过原点，把代入得，

解得：．故答案为：.

4．（2025·四川省凉山州·三模）函数的图象在点处的切线的斜率为．

【答案】0

【分析】求导，根据导数的几何意义即可得切线斜率.

【详解】因为，则，所以在点处的切线的斜率.

5．（2025·河北省张家口·三模）已知曲线在处的切线与轴垂直，则实数的值为.

【答案】/0.5

【分析】对函数求导，代入，可得对应的导数值为0，由此可建立关于的方程，从而得解.

【详解】对函数求导得，，因为曲线在处的切线与轴垂直，所以，解得.

6．（2025·四川省绵阳市·三模）在坐标平面中，已知过点恰能作曲线的2条切线，则由所有点构成的集合为.

【答案】

【分析】转化问题为方程有2个解，进而分，，，3种情况讨论求解即可.

【详解】由，，则，设切点为，则，则，因为过点恰能作曲线的2条切线，所以方程有2个解，则函数，与函数有2个交点，由，当时，，，因为，所以函数为偶函数，当时，单调递增，且时，，时，，

画出函数的大致图象，

??

此时满足函数，与函数有2个交点；若，令，得或；令，得，则函数在和上单调递增，在上单调递减，

且，画出函数的大致图象，

??

要使函数，与函数有2个交点，则；若，令，得；令，得或，则函数在和上单调递减，在上单调递增，且，画出函数的大致图象，

??

要使函数，与函数有2个交点，则.综上所述，所有点构成的集合为.

7．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）函数在处的切线垂直于y轴．

(1)求实数a；

(2)若方程有两根，求b的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，结合题意分析可知，代入运算求解即可；

（2）根据导数分析的单调性和最值，进而可得的图象，分析可知与有2个交点，结合图象即可得结果.

【详解】（1）由题意可得：，

因为在处的切线垂直于y轴，

则，解得.

（2）由（1）可知，定义域是，且，

令，解得，

当x变化时，，的变化情况如下：

x

0

单调递减

单调递增

令，解得，当时，；当时，．

所以的图象经过特殊点，，，且当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，所以的大致图象如图；

若方程有两根，即与有2个交点，由图象可知：，所以b的取值范围为.

8．（2025年山东威海市三模）已知函数．

(1)当时，求的极值；

(2)当时，若曲线有三条过点的切线，求的取值范围；

(3)设为非负实数，为正实数，若，证明：．

【答案】(1)答案见解析

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）求导，通过和讨论函数单调性，即可求解；

（2）设切点为，求的切线方程，代入，问题转换成方程有三个根，构造函数，则有3个零点，进而求解即可；

（3）不妨设，通过或时，或，三种情况分类讨论即可.

【详解】（1）当时，，

当时，，所以在上单调递增，所以无极值；

当时，令，解得，所以在上单调递增，

令，解得，所以在上单调递减，

所以的极大值为，

综上可知，当时，无极值；

当时，的极大值为，无极小值．

（2）设切点为，因为，

所以切线方程为，

因为切线过点，所以，

整理得，

因为曲线有三条过点的切线，

所以关于的方程有3个解，

令，则有3个零点，

因为，

令，解得，所以在上单调递增，

令，解得，所以在上单调递减，

所以，可得，所以

（3）不妨设，

当时，左边，右边，所以左边右边，

当时，左边，右边，所以左边=右边，

当时，因为s，t为正实数，，所以，要证，即证，即证，即证，令，则，因为，所以，所以在上单调递减，所以当时，，所以，所以在上单调递增，

因为，所以，所以，所以，即，综上可知，