上海市杨浦区复旦大学附属中学2025-2026学年高三上学期综合练习（2）（开学考试）数学试题（含解析）.docxVIP

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上海市杨浦区复旦大学附属中学2025-2026学年高三上学期综合练习（2）（开学考试）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知集合，则．

2．函数的定义域是．

3．已知，且x为第三象限的角，则．

4．在的二项展开式中项的系数为．

5．若某圆锥的底面半径为2，高为2，则该圆锥的侧面积为．（结果保留）

6．已知非零复数满足，则的虚部为．

7．已知是定义在上的函数，若，且，则实数的取值范围为．

8．如图，已知正三角形和正方形的边长均为3，且二面角的大小为，则．

????

9．双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为．

10．2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为．（用含有H、h、m、t的式子表示）

11．已知，恒成立，则实数的取值范围是.

12．斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是．

①存在正整数，使得成等差数列；

②存在正整数，使得成等比数列；

③存在常数，使得对任意正整数，都有成等差数列；

④存在正整数，且，使得．

二、单选题

13．已知，则“”是“”的（???）条件．

A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要

14．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（????）

A．① B．①② C．②③ D．①②③

15．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

16．设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（???）．

①存在等比数列以及锐角α，使成立．

②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立．

A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题

C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题

三、解答题

17．设．

(1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值；

(2)若，在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，求的最小值．

18．如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点．

(1)求证：平面；

(2)若底面为梯形，，异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值．

19．某校运会上无人机飞行表演，在水平距离(单位：米)内的飞行轨迹如图所示，表示飞行高度(单位：米).其中当时，轨迹为开口向上的抛物线的一段(端点为)，当时，轨迹为线段，经测量，起点，终点，最低点.

（1）求关于的函数解析式；

（2）在处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角的最小值.(精确到)

20．已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点．

(1)当时，求的值；

(2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围．

21．设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质．

(1)判断是否具有性质，并说明理由；

(2)设，若函数具有性质，求实数a的取值范围；

(3)设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质．

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