湖南省衡阳市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）.docVIP

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2021-2022学年湖南省衡阳市第一中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知，，为虚数单位，且，则的值为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据复数相等的概念可求解.

【详解】因为，，

所以，得，

所以.

故选：B

2．已知，且，则等于（）.

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平面向量共线的坐标运算即可求解.

【详解】因为，所以，解得.

故选：D.

3．在中，D为的中点，E为上一点，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知，根据平面向量线性运算加减法法则可以直接进行求解.

【详解】由已知，D为的中点，所以，

所以.

故选：D.

4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是（???）

A．45° B．60° C．90° D．135°

【答案】A

【分析】由利用余弦定理可得，结合的范围，即可得的值．

【详解】中，，

可得：，

由余弦定理可得：

，

，

，

故选：A.

5．如图，圆锥PO的底面直径和高均为4，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】用锥体体积减去柱体体积.

【详解】由题意知，因为为的中点，所以挖去圆柱的半径为1，高为2，剩下几何体的体积为圆锥的体积减去挖去小圆柱的体积，

所以.

故选：B

6．设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间的距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米，，请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离，距离为（????）米．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由正弦定理求解即可.

【详解】

由正弦定理可知

，

故选：B

7．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角，，所对的边分别为，，，则的面积．根据此公式，若，且，则的面积为（???）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据正弦定理可求，再求出后可求面积.

【详解】因为，故由正弦定理可得：

即，

而，故，故，

由余弦定理可得，故，

故，

故选：C.

8．在中，，平分交于，且，则的面积的最小值为（????）

A．3 B． C．4 D．

【答案】B

【分析】首先根据等面积法得到，再利用基本不等式求解最值即可.

【详解】

因为的面积等于与的面积之和，

所以，

又因为，，代入得，

又因为，

所以，得，

当且仅当时取等号．

所以的面积的最小值为．

故选B．

【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

二、多选题

9．已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（????）

A．z的模等于13 B．z在复平面内对应的点位于第四象限

C．z的共轭复数为 D．若是纯虚数，则

【答案】BD

【分析】根据复数的模值运算、坐标表示、共轭复数的定义进行逐项判断，即可求解.

【详解】解：由题意得：

对于选项A：，故A错误；

对于选项B：z在复平面内对应的点的坐标表示为，位于第四象限，故B正确；

对于选项C：根据共轭复数的定义z的共轭复数为，故C错误；

对于选项D：，若是纯虚数，则，解得：，故D正确.

故选：BD

10．已知?为平面，为点，为直线，下列推理正确的是（????）

A．，，，

B．，，，

C．，

D．，，且不共线?重合

【答案】ABD

【分析】对于A：由公理1即可判断；对于BC：由公理3即可判断；对于D：由公理2即可判断.

【详解】对于A：若，，，，即直线上有两个点都在平面上，由公理1可知，这条直线就在平面上，即，故A正确；

对于B：若，，，，即在平面和平面的交线上，即，故B正确；

对于C：若，，点在平面和平面的交线上，由公理3可知为经过点的一条直线而不是，故C错误；

对于D：因为三点不共线，由公理2可知，三点可构造唯一一个平面，又，则两平面重合，故D正确；

故答案为：ABD.

11．某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则（????）

A． B． C． D．

【答案】AD