〖数学〗完全平方公式（教学课件） 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册.pptxVIP

第十六章整式的乘法

16.3.2完全平方公

式

人教版(2024)八年级上册

学习目标

1理解完全平方公式的结构特征，了解公式的几何背景

2灵活应用完全平方公式进行计算

3掌握添括号法则

探索新知

探究

计算下列多项式的积，你能发现什么规律?

两数的和的平方两数平方的和，

加上它们积的2倍

规律：两个数的和的平方，等于这两个数平方的和，加上它们

的积的2倍.

验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立?

思路一：∵(a+b)²=(a+b)(a+b)

=a²+ab+ab+b²

=a²+2ab+b².

∴上述结果仍成立.

探索新知

探索新知

思路二：你能几何的形式证明公式成立吗?

整体求：总面积=(a+b)².

部分求：面积和=a²+ab+ab+b².

(a+b)²=a²+2ab+b².

探索新知

探究

计算下列多项式的积，你能发现什么规律?

(3)(p-1)²=(p-1)(p-1)=p²—2p+1²

(4)(m—2)²=(m—2)(m—2)=m²—4m+22.

规律：两个数的差的平方，等于这两个数平方的和，减去它们的积的2倍.

验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立?

思路一：∵(a—b)²=(a—b)(a—b)=a²—ab—ab—b²

=a²—2ab—b².∴上述结果仍成立.

探索新知

思路二：你能几何的形式证明公式成立吗?

整体求：总面积=(a—b)².

部分求：

面积差=a²—ab—b(a—b)

=a²—ab—ab+b².

(a—b)²=a²—2ab+b²

公式的特征

①积为二次三项式、积中两项为两数的平方和；

②另一项是两数积的两倍，且与两数中间的符号相同；

③公式中的字母a、b可以表示数、单项式或多项式

两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们

的积的2倍.

(a+b)²=a²+2ab+b²是

多项式乘法(a+b)(p+q)中p=a,q=b的特殊情形.

探索新知

完全平方公式

(a土b)²=a²+2ab+b²,

(a□b)²=a²□2ab+b².

典型例题

例3运用完全平方公式计算：

(1)(4m+n)²;

典型例题

例4运用完全平方公式计算：

(1)102²;(2)99².

思考

(a+b)²与(-a—b)²相等吗?相等

分析一：(—a—b)²=(一a)²—2·(一a)·b+b²=a²+2ab+b²=(a+b)²;

分析二：(—a—b)²=[一(a+b)]²=(一1)²(a+b)²=(a+b)²;

(a-b)²与(b—a)²相等吗?相等

分析一：(b—a)²=b²—2ba+a²=a²—2ab+b²=(a—b)²;

分析二：(b—a)=—(a—b)∴(b—a)²=[一(a—b)]²=(一1)²a—b)²=(a—b)²;

(a—b)²与a²—b²相等吗{不一定相等

只有当b=0或a=b时，(a—b)²=a²—b².

探索新知

探索新知

添括号法则

去括号：a+(b+c)=a+b+c;

a—(b+c)=a-b二c_.

把上面两个等式的左右两边反过来，就得到添括号法则：

a+b+c=a+(b+c);

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；

如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

(1)添括号是添上括号和括号前面的符号.括号前面的“+”或“一”不

是原来多项式的某一项的符号“移”出来的.

(2)无论是添括号还是去括号，只改变式子的形式，不改变式子的值，

是恒等变形.

(3)添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号，

而不是只改变括号里的第一项的符号.

探索新知

运用添括号法则的注意事项

(4)添括号是否正确，可利用去括号法则检验.

典型例题

例5运用乘法公式计算：

(1)(x+2y—3)(x—2y+3);(2)(a+b+c)².

解：(1)(x+2y—3)(x—2y+3)

=[x④(2y-3)Ixθ2y-31

=x²—(2y—3)²

=x²—(4y²—12y+9)=x²—4y²+12y-9;

将2y-3看作整体

有些整式相乘需要

先作适当变形，然后再用公式.

典型例题

例5运用乘法公式