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第四节分部积分法
引例求引例【石油产量】工程师们预计一个新开发的天然气
t63
p(t)p(t)0.0849te10m
t
新井的开采速度（单位：年）为，试
估计该新井的总产量随开采时间变化的规律（其中P(0)0）。
解
dp
天然气的开采率为p(t)，则在[t，tt]时间段内，开采量为
dt
dpp(t)dt
由变化率求总改变量得
6t6t
Pp(t)dt0.084910tedt0.084910tedt.
uu(x)，vv(x)
定理定理设函数具有连续导数，由函数
乘积的微分法则
d(uv)udvvdu
移项并两边积分，得udvd(uv)vdu
udvuvvdu（）
即4-7
这个公式称为分部积分公式，用此公式求积分的方法称为分
部积分法。
udvvdu
分部积分法是将积分转化为另一个积分，用分部积
分法求积分时，正确选择和是解题的关键．一般要考虑以下两
udv
点：
（）要容易求出；
1v
（）转换后的积分要比转换前的积分容易积出。
2
例【引例的计算】。
1
6t6t
Pp
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