《高等数学基础》课件——可分离变量的微分方程.pdfVIP

第二节可分离变量的微分方程

例一曲线过点（，），且曲线上任意点处的切

110M(x,y)

线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。

解设曲线方程为，则曲线在点处的切线斜率

yf(x)M(x,y)

dy

为。

dx

dyx

根据题意有

dxy

初始条件为yx10

例一曲线过点（，），且曲线上任意点处的切

110M(x,y)

线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。

这个方程不能用两边同时积分的方法求解，因为微分方程

x

的右端含有未知函数，积分ydx解不出来．但如



y

果将方程作如下变形写成

yydxxd

ydy

这时方程的左端只含有未知函数与，右端只含有自变量

xdxydy

与。即变量与已经分离在方程的两端，此时两边可

以同时积分yydxxd，得



1212

yxC

22

例一曲线过点（，），且曲线上任意点处的切

110M(x,y)

线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。

即22

xy2C

将y0代入通解中，得

x1

1

C

2

于是所求曲线方程为

22

xy1

在解微分方程中，若两个变量同时出现在方程的某一

端，就不能直接用两边积分的方法求解，如果能将两个变

量分离，使方程的一端只含变量及，另一端只含及，