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初中数学几何最值问题培优专题训练

几何最值问题，一直是初中数学学习中的一个重点与难点，也是中考及各类竞赛中常见的题型。它不仅考察学生对几何基本概念、基本定理的掌握程度，更注重检验学生的空间想象能力、逻辑思维能力以及运用数学思想方法解决问题的能力。解决这类问题，需要我们具备扎实的几何功底，更需要掌握一些常用的解题策略与技巧。本专题将带你深入探究几何最值问题的本质，梳理常见的解题思路，并通过典型例题的剖析，帮助你提升解决此类问题的能力。

一、几何最值问题的核心思想与基本原理

在初中几何范围内，最值问题的求解通常离不开以下几个核心的几何原理和数学思想：

1.两点之间，线段最短。这是解决所有路径最短问题的根本依据。许多看似复杂的折线或曲线路径最值问题，最终都可以通过转化，利用这一原理来解决。

2.垂线段最短。点到直线的距离，垂线段最短。在涉及点到直线距离的最值问题中，这一原理至关重要。

3.三角形三边关系。三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。当三点共线时，取等号。这一关系常用来解决线段和差的最值问题。

4.轴对称的性质。对称轴是对应点连线的垂直平分线。利用轴对称，可以将图形中的某些点或线段进行“转移”，从而将折线问题转化为直线问题，进而利用“两点之间线段最短”求解。

5.函数思想。对于一些动态几何问题，可以通过引入变量，建立几何量之间的函数关系（通常是二次函数），然后利用二次函数的增减性或顶点坐标来求最值。

6.轨迹思想。有些动点问题，其轨迹是特定的几何图形（如直线、圆等），找到动点的轨迹，有助于我们确定最值的位置。

二、常见几何最值问题的类型与解题策略

（一）线段和（差）的最值问题

这类问题最为常见，核心思路是“化折为直”，即将不在同一直线上的多条线段，通过对称、平移、旋转等几何变换，转化为一条直线上的线段之和（或差），再利用“两点之间线段最短”或三角形三边关系求解。

典型模型与策略：

1.“将军饮马”模型及其拓展：

*基本模型：直线l同侧有A、B两点，在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小。

*策略：作点A（或B）关于直线l的对称点A（或B），连接AB（或AB），与直线l的交点即为所求点P，PA+PB的最小值为AB（或AB）的长度。

*拓展：两定直线间有一定点，在两定直线上分别找点，使三条线段围成的周长最小；或在角的两边找点，使线段和最小等，均可通过多次对称实现“化折为直”。

2.利用三角形三边关系求最值：

*模型：已知定点A、B，动点P在某图形上运动，求PA+PB的最大值或最小值；或求|PA-PB|的最大值。

*策略：若P点轨迹是直线或圆，可结合图形性质，当A、B、P三点共线时，PA+PB可能取得最值（具体是最大还是最小，需根据图形判断）。对于|PA-PB|，其最大值为AB的长度（当P、A、B三点共线且P在AB延长线或BA延长线上时取得）。

（二）图形面积的最值问题

求解图形面积的最值，通常需要将面积表示为某个变量的函数，然后利用函数的性质（如二次函数的顶点坐标）或几何图形的性质来求解。

常见类型与策略：

1.三角形面积最值：

*已知一边长度固定，求这边上的高最大（或最小）时的面积最值。此时面积由高决定，高最大则面积最大，高最小则面积最小。

*已知两边长度固定，求这两边夹角变化时的面积最值。利用面积公式S=1/2absinC，当夹角C为90°时，sinC取得最大值1，面积最大；当夹角C为0°或180°时，面积最小为0（此时三点共线，不能构成三角形）。

2.四边形面积最值：

*特殊四边形（如平行四边形、矩形、菱形、梯形）：通常根据其面积公式，结合已知条件，转化为求某条边或高的最值问题。

*一般四边形：可尝试将其分割为两个三角形，分别表示面积再求和，或利用补形法转化为熟悉图形的面积问题。

（三）动态几何中的最值问题

这类问题中，点、线、面等几何元素处于运动变化之中，需要在运动过程中寻找最值。解决的关键是抓住运动过程中的不变量和变化规律，将动态问题静态化。

常见切入点：

1.明确动点的运动轨迹：动点在直线上运动？在圆上运动？还是在其他曲线上运动？确定轨迹是解决问题的前提。

2.寻找临界位置：许多动态最值问题的最值往往出现在运动过程中的某些临界位置，如特殊三角形（等腰、直角）、特殊四边形（菱形、正方形）、点线重合、图形特殊位置等。

3.建立函数关系：引入合适的变量（如线段长度、角度等），将所求的几何量（如线段长、面积等）表示为该变量的函数，利用函数知识求最值。

三、典型例题精析

例题1（线段和最小值）：

已知，在Rt△ABC中，∠C