高中数学人教A版必修第二册6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示教学设计.docxVIP

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版必修第二册

章节：6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示

教材分析

本节课通过向量的坐标表示，推导出数乘向量的坐标运算规则，并进一步探讨了向量共线的坐标条件。教学过程从具体向量出发，引导学生自主探究数乘向量坐标的得出方式，并通过消元法推导出向量共线的坐标判别式。本节内容承接了前面向量的线性运算和坐标表示的知识，为后续学习向量的数量积和向量在解析几何中的应用打下基础。通过本节课的学习，学生能够提升代数运算能力和逻辑推理能力，进一步理解向量的代数本质，为后续解析几何、空间向量及物理中的相关问题提供运算工具。

学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已经掌握了平面向量的基本概念、向量加法与减法的坐标表示，以及向量共线的定义和基本性质，具备了一定的向量运算能力和逻辑推理能力，能够理解向量与实数运算之间的关系，同时具备初步的代数变形和消元思想，能够进行简单的公式推导和等式变形，学生在心理上已逐步形成抽象思维能力，但仍需借助直观模型辅助理解抽象概念，本节课要求学生能够从向量分解的角度理解数乘运算的坐标表示，并掌握向量共线的坐标条件，通过推导和运算进一步提升逻辑推理能力和数学表达能力，为后续学习向量的数量积等内容奠定基础。

教学目标

理解向量数乘运算的坐标表示方法，能够推导出λa

掌握向量共线的坐标判定条件，能够运用x1

能够将向量共线的几何条件转化为坐标形式的代数条件，实现几何与代数的相互转化，达到直观想象和数学运算核心素养水平二的要求。

理解向量数乘运算与坐标变换的关系，能够运用数乘运算解决实际问题，达到数学建模核心素养水平一的要求。

重点难点

教学重点：平面向量数乘运算的坐标表示及其推导过程，理解共线向量的坐标充要条件。

教学难点：由数乘运算坐标表示推导共线向量的坐标条件，理解消元法在向量共线问题中的应用。

课堂导入

同学们，我们之前学习了平面向量的坐标运算，现在来看一个实际问题。假设在直角坐标系中有一个向量a，已知它的坐标为(2,3)，若有一个实数λ=3，那λ

平面向量数乘运算的坐标表示

探究新知

（一）知识精讲

我们知道，向量可以进行数乘运算，即一个实数与一个向量相乘。如果已知向量a=(x,y)，那么实数λ与向量a

根据向量的坐标表示形式，a=xi+yj，其中i、j分别是x

λ

因此，λa

λ

这说明，实数与向量的积的坐标等于用这个实数分别乘原来向量的横坐标和纵坐标。

进一步地，设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，其中

将该等式用坐标表示出来，即：

(

这可以写成两个方程：

{

消去λ，我们可以得到：

x

因此，向量a与b共线的充要条件是它们的坐标满足：

x

（二）师生互动

教师提问：

我们知道，λa=(λx,λ

学生回答：当λ=0时，

教师追问：如果a=(2

学生思考后回答：可以判断。因为2×6?4×3=12?

教师引导：很好，这说明我们可以利用坐标来判断两个向量是否共线，而不需要画图或依赖几何直观。

（三）设计意图

通过引导学生从向量的坐标表示出发，推导出数乘运算的坐标形式，帮助学生理解数乘运算的本质，即对向量长度的伸缩和方向的保持或反向。在此基础上，进一步推导向量共线的坐标条件，使学生掌握从代数角度判断向量共线的方法，提升其逻辑推理能力和抽象思维能力。通过师生互动中的问题引导，激发学生思考，促进知识的迁移与应用，同时强化数形结合的思想，使学生在学习过程中逐步形成严谨的数学思维习惯和自主探究的学习方式。

新知应用

例6题目：

已知a=(2,1

解答：

我们先分别对向量进行数乘运算，再进行向量加法。

首先，计算3a：

接着，计算4b：

然后，进行向量加法：

3

总结：

1.题目考查内容

①向量的数乘运算的坐标表示；

②向量加法的坐标表示。

2.题目求解要点

①掌握数乘向量的运算法则：实数乘以向量的每个坐标分量；

②掌握向量加法的坐标运算法则：对应坐标相加；

③注意运算顺序，先数乘后加法。

例7题目：

已知a=(4,2)，

解答：

根据向量共线的充要条件：若两个向量a=(x1,y

将已知向量代入：

4

化简得：

4

总结：

1.题目考查内容

①向量共线的充要条件；

②向量坐标形式下的共线判断。

2.题目求解要点

①熟记共线向量的坐标判别公式x1y2?x2y1=0；

例8题目：

已知点A(?1,?1)，B(1,3

解答：

首先，求出向量AB和AC

AB=

判断这两个向量是否共线，使用共线条件：

2

因此，AB

又因为两向量有公共起点A，所以三点A、B、C共线。

总结：

1.题目考查内容

①向量共线的判定；

②三点共线的向量方法。

2.题目求解要点

①利用