2025年下学期初中数学压轴题思维挑战试卷.docVIP

2025年下学期初中数学压轴题思维挑战试卷

一、综合探究题（共2小题，满分40分）

（一）二次函数与几何综合题（20分）

题目：如图，在平面直角坐标系中，抛物线(y=ax^2+bx+3)与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C，顶点为D。点P是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），过点P作PE⊥x轴于点E，设点P的横坐标为m。

求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

用含m的代数式表示线段PE的长度；

在点P运动过程中，是否存在点P，使得△PDE为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。

解答思路：

求解析式与顶点坐标

将A(-1,0)、B(3,0)代入抛物线方程得：

[

\begin{cases}

a(-1)^2+b(-1)+3=0\

a(3)^2+b(3)+3=0

\end{cases}

]

解得(a=-1)，(b=2)，故解析式为(y=-x^2+2x+3)。

顶点D的横坐标为(-\frac{b}{2a}=1)，代入得(y=4)，即D(1,4)。

表示PE的长度

直线BC的解析式：由B(3,0)、C(0,3)得(y=-x+3)。

点P(m,-m+3)，PE⊥x轴，故PE长度为(-m+3)（(0m3)）。

等腰三角形存在性讨论

分三种情况：

PD=PE：计算PD距离(\sqrt{(m-1)^2+(-m+3-4)^2}=-m+3)，解得(m=1)（舍，与D重合）；

PD=DE：DE长度为(\sqrt{(1-0)^2+(4-3)^2}=\sqrt{2})，方程无解；

PE=DE：(-m+3=\sqrt{2})，解得(m=3-\sqrt{2})。

综上，存在点P，(m=3-\sqrt{2})。

（二）动态几何与圆综合题（20分）

题目：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（(0t4)）。以PQ为直径作⊙O，连接OP、OQ。

用含t的代数式表示线段PQ的长度；

当t为何值时，⊙O与AB相切？

在运动过程中，线段AB上是否存在一点M，使得△OMQ为等边三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。

解答思路：

表示PQ长度

AP=t，CQ=2t，PC=6-t，QC=2t。

由勾股定理得(PQ=\sqrt{(6-t)^2+(2t)^2}=\sqrt{5t^2-12t+36})。

圆与AB相切的条件

AB的解析式：(y=-\frac{4}{3}x+8)。

圆心O为PQ中点((\frac{6-t}{2},t))，半径(\frac{PQ}{2})。

圆心到AB距离等于半径：

[

\frac{\left|-\frac{4}{3}\cdot\frac{6-t}{2}-t+8\right|}{\sqrt{(-\frac{4}{3})^2+1}}=\frac{\sqrt{5t^2-12t+36}}{2}

]

化简得(t=\frac{18}{13})。

等边三角形存在性

假设存在点M，OM=OQ=MQ。

OQ长度为(\frac{PQ}{2})，MQ需满足角度关系。通过三角函数与方程求解，最终得出t=(\frac{6}{5})时成立。

二、拓展创新题（共2小题，满分30分）

（一）函数与不等式综合题（15分）

题目：已知函数(y_1=x^2-2mx+m^2+1)，(y_2=-x^2+2nx+n^2-4)，其中m、n为常数。

求证：无论m为何值，函数(y_1)的图像与x轴无交点；

若函数(y_1)与(y_2)的图像交于点A(x?,y?)、B(x?,y?)，且x?x?，当x?-x?=4时，求m与n的数量关系；

在（2）的条件下，若对任意x∈[1,3]，都有(y_1y_2)，求n的取值范围。

解答思路：

证明无交点

判别式(\Delta=(-2m)^2-4(m^2+1)=-40)，故无交点。

交点距离与参数关系

联立方程得(2x^2-2(m+n)x+(m^2-n^2+5)=0)。

(x_1+x_2=m+n)，(x_1x_2=\frac{m^2-n^2+5}{2})。

(x_2-x_1=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{4n^2-4m^2+20}=4)，化简得(n^2-m^2=-1)。

不等式恒成立条件

(y_1-y_2=2x^2-2(m+n)x+(m^2-n^2+5)0)