福建2025自考[金融学]线性代数经管类易错题专练.docxVIP

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福建2025自考[金融学]线性代数（经管类）易错题专练

一、选择题（每题2分，共10题）

说明：本题侧重考查基础概念与简单计算，易错点在于细节辨析。

1.若向量组α?=(1,2,3)，α?=(0,1,2)，α?=(0,0,1)线性无关，则向量β=(1,1,1)与该向量组的秩关系是？

A.线性相关

B.线性无关

C.无法确定

D.β是α?,α?,α?的线性组合

2.矩阵A=（$\begin{matrix}12\\34\end{matrix}$）的转置矩阵AT的行列式|AT|等于？

A.1

B.-1

C.2

D.-2

3.方程组Ax=0有非零解的充要条件是？

A.|A|=0

B.A的列向量线性相关

C.A的秩rn

D.以上都对

4.若矩阵P为可逆矩阵，则矩阵AP的秩与矩阵A的秩关系是？

A.相同

B.AP的秩更大

C.AP的秩更小

D.无法确定

5.设向量α?=(1,1,1)，α?=(1,2,3)，α?=(1,3,6)，则α?,α?,α?的秩为？

A.1

B.2

C.3

D.无法确定

二、填空题（每题3分，共5题）

说明：本题考查基本公式与性质，易错点在于符号与计算细节。

1.若向量组α?=(1,0)，α?=(0,1)，α?=(1,1)线性相关，则α?可由α?,α?线性表示为？

2.矩阵A=（$\begin{matrix}21\\12\end{matrix}$）的特征值为？

3.方程组Ax=b有唯一解的充要条件是？

4.设矩阵B可逆，若AB=0，则矩阵A的秩为？

5.向量空间R3的维数为？

三、计算题（每题6分，共4题）

说明：本题侧重行列式、矩阵运算与线性方程组求解，易错点在于符号错误或计算遗漏。

1.计算行列式|A|，其中A=（$\begin{matrix}123\\012\\136\end{matrix}$）。

2.解线性方程组：

$\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y+3z=10\end{cases}$

3.求矩阵P=（$\begin{matrix}12\\34\end{matrix}$）的逆矩阵P?1（若存在）。

4.求向量α=(1,2,3)在向量β=(1,1,1)上的投影向量。

四、证明题（每题10分，共2题）

说明：本题考查线性相关性的证明与矩阵性质的应用，易错点在于逻辑推理不严谨。

1.证明：若向量组α?,α?,α?线性相关，且α?不能由α?,α?线性表示，则α?与α?线性相关。

2.设A为n阶矩阵，且A2=A，证明：A的特征值只能是0或1。

答案与解析

一、选择题答案

1.A

解析：β=(1,1,1)可由α?+α?+α?表示，故线性相关。

2.B

解析：|AT|=|A|=1×4-2×3=-2。

3.D

解析：Ax=0有非零解?|A|=0?A的列向量线性相关?rn。

4.A

解析：矩阵乘法不改变秩，即rank(AP)=rank(A)。

5.B

解析：α?,α?线性无关，α?可由α?,α?线性表示，故秩为2。

二、填空题答案

1.α?=α?+α?

2.1,3

3.|A|≠0（即A可逆）

4.0

5.3

三、计算题答案

1.|A|=1×(1×6-2×3)-2×(0×6-2×1)+3×(0×3-1×1)=0

2.解得x=1,y=2,z=3（可用高斯消元法验证）

3.P?1=$\begin{matrix}-21\\1-0.5\end{matrix}$（需检验|P|≠0）

4.投影向量=$\frac{1}{3}(1+2+3)=(1,1,1)$

四、证明题答案

1.证明：α?不能由α?,α?表示?α?,α?不线性无关?存在c?,c?不全为0使c?α?+c?α?=0?α?,α?线性相关。

2.证明：设λ为A的特征值，α为特征向量，则Aα=λα?A2α=λα?(λ2-λ)α=0?λ(λ-1)=0?λ=0或1。

本试题基于近年相关经典考题创作而成，力求帮助考生提升应试能力，取得好成绩！