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2025年专升本青海高数一考试练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)的零点个数为（）

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

答案：C

解析：求导得到f(x)=3x^26x+2。令f(x)=0，解得x=1±√(1/3)，故f(x)有两个零点。

2.函数y=x^33x^2+4在x=1处的极值为（）

A.2

B.2

C.0

D.3

答案：A

解析：求导得到y=3x^26x。令y=0，解得x=0或x=2。计算y(1)=1^331^2+4=2，y(0)=4，y(2)=2。故x=1时，函数取得极小值2。

3.设函数f(x)=e^x，求f(x)=（）

A.e^x

B.e^x+x

C.e^xx

D.e^xx

答案：A

解析：f(x)=e^x，f(x)=e^x。

4.设a为常数，函数y=ax^2+bx+c在x=1处的极大值为2，则a、b、c的取值为（）

A.a=1，b=4，c=3

B.a=1，b=4，c=3

C.a=1，b=4，c=3

D.a=1，b=4，c=3

答案：B

解析：求导得到y=2ax+b。令y=0，解得x=b/2a。由题意可知，x=1时，函数取得极大值2。代入得a=1，b=4。再根据y(1)=2，解得c=3。

5.若函数y=f(x)在x=x0处取得极值，则以下结论正确的是（）

A.f(x0)=0

B.f(x0)≠0

C.f(x0)=0

D.f(x0)≠0

答案：A

解析：若函数y=f(x)在x=x0处取得极值，则f(x0)=0。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数y=x^22x+1在x=1处的切线方程为______。

答案：y=0

解析：求导得到y=2x2。切点为(1,0)，切线斜率为2(1)2=0。故切线方程为y=0。

7.函数y=e^x在x=0处的切线方程为______。

答案：y=1

解析：求导得到y=e^x。切点为(0,1)，切线斜率为e^0=1。故切线方程为y=1。

8.设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值分别为______和______。

答案：4和1

解析：求导得到f(x)=3x^26x+2。令f(x)=0，解得x=1±√(1/3)。计算f(1)=1，f(1√(1/3))=4，f(1+√(1/3))=1，f(3)=1。故最大值为4，最小值为1。

9.设函数y=f(x)在x=x0处取得极值，则f(x0)=______。

答案：0

解析：若函数y=f(x)在x=x0处取得极值，则f(x0)=0。

10.函数y=ax^2+bx+c的图像为开口向下的抛物线，且顶点坐标为(1,2)，则a、b、c的取值为______、______、______。

答案：1、4、3

解析：开口向下的抛物线，a0。顶点坐标为(1,2)，代入得a=1，b=4。再根据y(1)=2，解得c=3。

三、解答题（每题25分，共50分）

11.设函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求f(x)的单调区间和极值。

答案：单调增区间为(∞,1)和(3,+∞)，单调减区间为(1,3)。极小值为3，极大值为4。

解析：求导得到f(x)=3x^212x+9。令f(x)=0，解得x=1和x=3。计算f(1)=3，f(3)=4。故f(x)在(∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。f(x)在x=1处取得极小值3，在x=3处取得极大值4。

12.设函数y=f(x)在x=x0处取得极值，证明f(x0)=0。

答案：证明：由于f(x)在x=x0处取得极值，故f(x0)存在。假设f(x0)≠0，则f(x0)0或f(x0)0。若f(x0)0，则f(x)在x0的左侧单调递增，在x0的右侧单调递减，这与f(x)在x=x0处取得极值矛盾。同理，若f(x0)0，也与f(x)在x=x0处取得极值矛盾。故假设不成