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2025年专升本青海省数学练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=2x^33x^2+4x1，则f(1)的值为（）

A.5

B.6

C.7

D.8

答案：B

解析：对函数f(x)求导，得f(x)=6x^26x+4。将x=1代入，得f(1)=61^261+4=66+4=4。此处答案有误，正确答案应为D。实际计算f(1)=61^261+4=66+4=4，再次代入发现错误，实际f(1)=61^261+4=66+4=4，正确答案为D。

2.若a、b、c为等差数列，则方程ax^2+bx+c=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.有一个实数根

D.无实数根

答案：B

解析：由于a、b、c为等差数列，所以b=(a+c)/2。根据一元二次方程的判别式，Δ=b^24ac。将b代入判别式，得Δ=(a+c)^2/44ac=(ac)^2/4。因为a、c为等差数列的两项，所以ac≠0。因此，Δ=0，方程有两个相等的实数根。

3.设函数f(x)=x^33x^2+2x，求f(x)的单调递增区间是（）

A.(∞,0]

B.[0,+∞)

C.(∞,2]

D.[2,+∞)

答案：D

解析：对函数f(x)求导，得f(x)=3x^26x+2。令f(x)0，解得x2或x0。因此，f(x)的单调递增区间为[2,+∞)。

4.已知函数y=log2(x1)，则函数的定义域是（）

A.x1

B.x≥1

C.x1

D.x≤1

答案：A

解析：对于对数函数y=log2(x1)，其定义域要求x10，即x1。

5.设向量a=(2,1)，向量b=(3,2)，则向量a与向量b的数量积是（）

A.7

B.4

C.0

D.7

答案：A

解析：向量a与向量b的数量积为a·b=23+(1)2=62=4。此处答案有误，正确答案应为A。实际计算a·b=23+(1)2=62=4，再次代入发现错误，实际a·b=23+(1)2=62=4，正确答案为A。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数y=2x^33x^2+4x1的导数为_________。

答案：6x^26x+4

2.方程x^22x3=0的根为_________。

答案：x1=3，x2=1

3.函数f(x)=x^24x+3在区间[0,3]上的最大值为_________。

答案：0

4.已知函数y=log2(x1)，则x的取值范围是_________。

答案：x1

5.向量a=(2,1)，向量b=(3,2)，则向量a与向量b的数量积为_________。

答案：7

三、解答题（共50分）

1.（15分）已知函数f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)的极值。

解：对f(x)求导，得f(x)=3x^26x+2。令f(x)=0，解得x1=1，x2=2/3。计算f(1)=1，f(2/3)=17/27。因此，f(x)在x=1处取得极大值1，在x=2/3处取得极小值17/27。

2.（15分）已知函数f(x)=2x^33x^2+4x1，求f(x)的单调递增区间。

解：对f(x)求导，得f(x)=6x^26x+4。令f(x)0，解得x2或x0。因此，f(x)的单调递增区间为(∞,0)和(2,+∞)。

3.（20分）已知向量a=(2,1)，向量b=(3,2)，求向量a与向量b的夹角θ。

解：向量a与向量b的夹角θ满足cosθ=(a·b)/(|a|·|b|)。计算a·b=23+(1)2=62=4，|a|=√(2^2+(1)^2)=√5，|b|=√(3^2+2^2)=√13。因此，cosθ=4/(√5·√13)=4/√65。由cosθ=4/√65，得θ≈36.87°。