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2025年专升本内蒙古高等数学练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^36x+9，则f(1)的值为（）

A.3

B.6

C.12

D.15

答案：B

解析：f(x)=3x^26，将x=1代入得f(1)=31^26=36=3。注意题目有误，正确答案应为3。

2.设函数y=ln(x+2)，则y的值为（）

A.1/(x+2)

B.1/(x2)

C.1/(2x)

D.1/(x^2)

答案：A

解析：y=d/dx[ln(x+2)]=1/(x+2)。

3.设函数y=e^(2x)，则y的值为（）

A.2e^(2x)

B.2e^(2x)

C.4e^(2x)

D.4e^(2x)

答案：D

解析：y=2e^(2x)，y=d/dx[2e^(2x)]=4e^(2x)。

4.设函数f(x)=2x^33x^2+4x1，则f(x)在x=1处的极大值为（）

A.3

B.2

C.1

D.0

答案：A

解析：f(x)=6x^26x+4，f(x)=12x6。当x=1时，f(1)=0，f(1)=60，所以f(x)在x=1处取得极大值，f(1)=21^331^2+411=3。

5.若函数f(x)在区间（a，b）内连续，且在区间（a，b）内可导，则下列结论正确的是（）

A.f(x)在区间（a，b）内一定有极值

B.f(x)在区间（a，b）内一定有最大值和最小值

C.f(x)在区间（a，b）内一定有拐点

D.f(x)在区间（a，b）内一定有水平切线

答案：B

解析：根据闭区间上连续函数的性质，f(x)在区间（a，b）内一定有最大值和最小值。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数f(x)=x^2+2x+1的导数为______。

答案：2x+2

解析：f(x)=d/dx[x^2+2x+1]=2x+2。

7.函数y=x^33x^2+2在x=0处的切线方程为______。

答案：y=2

解析：f(0)=2，f(0)=0，所以切线方程为y=f(0)=2。

8.函数y=sin(2x)的导数为______。

答案：2cos(2x)

解析：y=d/dx[sin(2x)]=2cos(2x)。

9.函数f(x)=x^33x^2+4在区间（∞，+∞）内的单调递增区间为______。

答案：(∞，1)和(2，+∞)

解析：f(x)=3x^26x，令f(x)0，解得x0或x2。

10.函数y=e^xln(x)在x=1处的二阶导数为______。

答案：e

解析：y=e^xln(x)+e^x/x，y=e^xln(x)+e^x/x+e^x/x^2，将x=1代入得y(1)=e。

三、解答题（共50分）

11.（本题10分）求函数f(x)=x^24x+3在区间[0,3]上的最大值和最小值。

解：f(x)=2x4，令f(x)=0，解得x=2。比较f(0)、f(2)、f(3)的值，得最大值为f(0)=3，最小值为f(2)=1。

12.（本题15分）求函数f(x)=x^33x^29x+5的单调区间和极值。

解：f(x)=3x^26x9，令f(x)=0，解得x=1和x=3。单调递增区间为(∞，1)和(3，+∞)，单调递减区间为(1，3)。f(1)=10为极大值，f(3)=22为极小值。

13.（本题15分）设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的n阶导数。

解：f(x)=2xe^x+x^2e^x，f(x)=2e^x+4xe^x+x^2e^x。观察可知，f^(n)(x)=x^ne^x+nx^(n1)e^x+...+n!e^x。

14.（本题10分）已知函数f(x)=x^33x^2+4x1，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程和法线方程。

解：f(x)=3x^26x+4，f(1)=3，f(1)=1。切线方程为y3=1(x1)，即y=x+2。法线方程的斜率为1，过点(1，3)，方程为y3=1(x1)，即y=x+4。