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2025年专升本青海省高等数学练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x，则f(x)=0的根为()

A.2

B.0

C.2

D.2和2

答案：D

解析：求导得到f(x)=3x^23。令f(x)=0，解得x=1和x=1。但题目中f(x)=0的根应为2和2，这是因为f(x)=x^33x在x=2和x=2时取得极值。

2.函数y=x^2+2x+3在区间(∞,+∞)内的最小值是()

A.0

B.2

C.3

D.4

答案：C

解析：求导得到y=2x+2。令y=0，解得x=1。将x=1代入原函数，得到最小值y=(1)^2+2(1)+3=2。

3.设函数y=ln(x+2)，则y|x=1=()

A.1/3

B.1/3

C.1/6

D.1/6

答案：B

解析：求导得到y=1/(x+2)。再次求导得到y=1/(x+2)^2。将x=1代入，得到y|x=1=1/(1+2)^2=1/9。

4.设函数f(x)=e^x+sin(x)，则f(π)=()

A.e^π+1

B.e^π1

C.e^π

D.e^π

答案：A

解析：求导得到f(x)=e^x+cos(x)。将x=π代入，得到f(π)=e^π+(1)=e^π1。

5.设函数y=arctan(x)，则dy/dx|x=0=()

A.0

B.1

C.1

D.∞

答案：B

解析：求导得到dy/dx=1/(1+x^2)。将x=0代入，得到dy/dx|x=0=1/(1+0^2)=1。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数y=x^33x^2+4在x=1处的切线方程是______。

答案：y=2x+5

解析：求导得到y=3x^26x。在x=1处，y=3(1)^26(1)=3，y(1)=1^33(1)^2+4=2。切线方程为y2=3(x1)，整理得到y=3x+5。

2.函数y=2x^33x^2+4在x=2处的极大值是______。

答案：6

解析：求导得到y=6x^26x。令y=0，解得x=0和x=1。再次求导得到y=12x6。在x=2处，y=12(2)6=18，说明x=2处是极大值点。将x=2代入原函数，得到极大值y(2)=2(2)^33(2)^2+4=6。

3.设函数y=e^x+sin(x)，则y在x=π处的二阶导数是______。

答案：e^π

解析：求导得到y=e^x+cos(x)。再次求导得到y=e^xsin(x)。将x=π代入，得到y|x=π=e^πsin(π)=e^π。

4.设函数y=ln(x+2)，则y在x=1处的切线斜率是______。

答案：1/3

解析：求导得到y=1/(x+2)。将x=1代入，得到y|x=1=1/(1+2)=1/3。

5.函数y=x^2+2x+3在区间(∞,+∞)内的最大值是______。

答案：无最大值

解析：函数y=x^2+2x+3是一个开口向上的抛物线，没有最大值，只有最小值。

三、计算题（每题10分，共30分）

1.设函数f(x)=x^2+3x+2，求f(x)和f(x)。

答案：f(x)=2x+3，f(x)=2

解析：求导得到f(x)=2x+3。再次求导得到f(x)=2。

2.求函数y=e^xsin(x)的导数。

答案：y=e^xsin(x)+e^xcos(x)

解析：使用乘积法则，得到y=e^xsin(x)+e^xcos(x)。

3.求函数y=x^33x^2+4在x=2处的切线方程。

答案：y=2x+5

解析：求导得到y=3x^26x。在x=2处，y=3(2)^26(2)=6，y(2)=2^33(2)^2+4=2。切线方程为y2=6(x2)，整理得到y=2x+5。

四、应用题（每题20分，共40分）

1.某企业的成本函数为C(x)=3x^2+4x+5，其中x是产量。求该企业的边际成本函数和平均成本函数。

答案：边际成本函数