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2025年下学期初中数学与信息论初步试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

下列关于信息熵的说法中，正确的是（）

A.概率为0的事件信息量为0

B.等概率事件的熵值最小

C.二进制信源中，当“0”“1”出现概率均为0.5时熵最大

D.熵的单位是字节

某通信系统中，信源可能发送3种消息，概率分别为0.5、0.3、0.2，则该信源的熵值为（）

A.1.48比特/符号B.1.58比特/符号C.2.0比特/符号D.3.0比特/符号

下列运算正确的是（）

A.(\log_28+\log_22=4)

B.(\log_39-\log_33=2)

C.(2^{\log_25}=10)

D.(\log_5(5\times25)=\log_55+\log_525=1+2=3)

在无噪声二进制信道中，若信源每秒发送1000个符号，则信道容量为（）

A.500b/sB.1000b/sC.2000b/sD.4000b/s

某密码锁有3个拨盘，每个拨盘有0-9共10个数字，若忽略拨盘顺序，则最多需要尝试的次数为（）

A.10B.100C.1000D.30

下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.等边三角形B.平行四边形C.矩形D.正五边形

已知一组数据：2，3，5，7，8，其方差为（）

A.3.2B.4.4C.5.6D.6.8

信息论中，互信息量的定义为（）

A.(I(X;Y)=H(X)-H(X|Y))

B.(I(X;Y)=H(Y)-H(Y|X))

C.(I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y))

D.以上都正确

若二进制信源发送“0”的概率为0.6，发送“1”的概率为0.4，则该信源的平均信息量为（）

A.0.847比特/符号B.0.971比特/符号C.1.0比特/符号D.1.2比特/符号

在一次数学测试中，某班50名学生成绩的中位数是85分，若低于85分的学生有23人，则高于85分的学生最多有（）

A.23人B.24人C.25人D.26人

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

香农在1948年发表的论文《________》中首次提出信息熵的概念。

若某信源有4个等概率消息，则其熵值为________比特/符号。

计算：(\log_216-\log_24+\log_2\frac{1}{2}=)________。

某信道的转移概率矩阵为(\begin{bmatrix}0.90.1\0.20.8\end{bmatrix})，则发送“0”且接收“0”的概率为________。

若一个圆的半径为5cm，则其面积为________(cm^2)（结果保留π）。

某数据压缩算法将原始数据量从1024KB减少到256KB，则压缩比为________。

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

17.（8分）

某信源可能发送A、B、C三种消息，概率分别为0.5、0.3、0.2，求该信源的熵值并说明其物理意义。

18.（8分）

已知二进制信道中，发送“0”的概率为0.4，发送“1”的概率为0.6，接收端收到“0”时，原发送“0”的概率为0.9，收到“1”时，原发送“1”的概率为0.8，求：

（1）接收端收到“0”的概率；

（2）接收端收到“1”的概率。

19.（10分）

某学校为了解学生每周使用电子产品的时间，随机抽取50名学生进行调查，数据如下表：

时间（小时）

0-2

2-4

4-6

6-8

8-10

人数

5

15

20

8

2

（1）计算这组数据的平均数；

（2）绘制频数分布直方图（要求标注坐标轴和数据）。

20.（10分）

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点E为BC中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接CF，求CF的长度。

21.（10分）

某通信系统采用二进制编码传输文字，已知“中”“国”“梦”三个字的概率分别为0.5、0.3、0.2，现需设计一种前缀码（无歧义编码），要求：

（1）编码长度与概率负相关；

（2）写出一种可能的编码方案并计算平均码长。

22.（10分）

已知二次函数(y=ax^2+bx+c)的图像经过点（1，2）、（-1，6）、（2，3），求：

（1）函数的解析式；

（2）函数图像的顶点坐标和对称轴。

23.（10分）

信息论与密码学结合题：

某必威体育官网网址通信采用“一次一密