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2025年专升本江西省高等数学考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，则f(1)等于()

A.0

B.1

C.3

D.3

答案：C

解析：f(x)=3x^23，代入x=1，得f(1)=33=0。故选C。

2.函数y=2x^33x^2+4在x=2处的切线斜率为()

A.3

B.6

C.9

D.12

答案：C

解析：y=6x^26x，代入x=2，得y(2)=6462=12。故选C。

3.设函数f(x)=e^x+sinx，则f(x)等于()

A.e^x+cosx

B.e^xcosx

C.e^x+sinx

D.e^xsinx

答案：B

解析：f(x)=e^x+cosx，f(x)=e^xsinx。故选B。

4.定积分∫(0to1)x^2dx等于()

A.1/3

B.1/2

C.1

D.2

答案：A

解析：∫(0to1)x^2dx=(1/3)x^3|(0to1)=(1/3)0=1/3。故选A。

5.设函数y=ln(1+x)，则y在x=0处的泰勒展开式的前三项是()

A.xx^2/2+x^3/6

B.x+x^2/2+x^3/6

C.xx^2/2x^3/6

D.x+x^2/2x^3/6

答案：A

解析：y=ln(1+x)的泰勒展开式为xx^2/2+x^3/6+O(x^4)。故选A。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数f(x)=x^33x+1的极值点为______。

答案：x=1，x=1

解析：f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=1，x=1。将x=1，x=1代入f(x)=6x，得f(1)=6，f(1)=6。故x=1为极大值点，x=1为极小值点。

7.定积分∫(0toπ)sinxdx等于______。

答案：2

解析：∫(0toπ)sinxdx=cosx|(0toπ)=(1)(1)=2。

8.函数y=e^x+sinx的收敛域为______。

答案：(∞,+∞)

解析：e^x和sinx都在(∞,+∞)上收敛，故函数y=e^x+sinx的收敛域为(∞,+∞)。

9.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)在x=2处的切线方程为______。

答案：y=6x8

解析：f(x)=3x^26x，代入x=2，得f(2)=6，f(2)=4。切线方程为y4=6(x2)，整理得y=6x8。

10.求极限lim(xto0)(sinxx)/x^3的值为______。

答案：1/6

解析：lim(xto0)(sinxx)/x^3=lim(xto0)[(sinx/x)1/x^2]=lim(xto0)[(sinx/x)(1/x^2)]=1/6。

三、解答题（每题20分，共60分）

11.设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)的单调区间。

答案：单调增区间为(∞,1)，单调减区间为(1,+∞)。

解析：f(x)=3x^26x+2。令f(x)0，得x1；令f(x)0，得x1。故f(x)的单调增区间为(∞,1)，单调减区间为(1,+∞)。

12.计算定积分∫(0toπ/2)(sinx)^3dx。

答案：2/3

解析：令u=sinx，du=cosxdx，则∫(0toπ/2)(sinx)^3dx=∫(0to1)u^3du=(1/4)u^4|(0to1)=1/4。

13.设函数f(x)=e^xsinx，求f(x)的极大值。

答案：f(x)的极大值为e^π/2。

解析：f(x)=e^x(cosx+sinx)。令f(x)=0，得x=3π/2+2kπ，k为整数。代入f(x)，得f(x)的极大值为e^π/2。