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2025年专升本江苏省高数二练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，则f(x)的单调递增区间是（）

A.(∞,1)B.(1,+∞)C.(∞,2)D.(2,+∞)

答案：C

解析：求导数f(x)=3x^26x+2，令f(x)0，解得x属于(∞,2)。所以f(x)的单调递增区间为(∞,2)。

2.设函数y=ln(x+1)，求x=1时的切线斜率（）

A.1B.2C.1/2D.0

答案：A

解析：求导数y=1/(x+1)，将x=1代入得y(1)=1/2。所以x=1时的切线斜率为1。

3.设函数f(x)=e^xe^(x)，则f(x)等于（）

A.f(x)B.f(x)C.2f(x)D.0

答案：B

解析：将x代入f(x)，得f(x)=e^(x)e^x=[e^xe^(x)]=f(x)。所以f(x)=f(x)。

4.设函数f(x)=x^22x+1，求f(x)的最小值（）

A.0B.1C.1D.2

答案：A

解析：f(x)=(x1)^2，最小值为0，当x=1时取到。

5.已知函数f(x)在x=2处连续，且f(2)=3，则下列选项中正确的是（）

A.f(20.001)=2B.f(2+0.001)=4C.f(20.001)=3D.f(2+0.001)=3

答案：C

解析：函数连续意味着在x=2处左右极限值等于函数值，所以f(20.001)=3。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数y=x^2+2x+1的导数为______。

答案：2x+2

7.函数y=sin(x)+cos(x)的导数为______。

答案：cos(x)sin(x)

8.已知f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)的零点______。

答案：x=1或x=2

9.设函数f(x)=e^x，求f(x)______。

答案：e^x

10.已知函数f(x)在x=1处可导，且f(1)=2，f(1)=1，则f(x)在x=1处的切线方程是______。

答案：y=2x1

三、解答题（共50分）

11.（10分）求函数f(x)=x^33x^2+4x+1在区间[1,3]上的最大值和最小值。

解答：

求导数f(x)=3x^26x+4，令f(x)=0，解得x=2/3或x=2。

比较f(1)、f(2/3)、f(2)和f(3)的值，得：

f(1)=0，f(2/3)=4/27+4/9+8/3+1=25/27+8/3+1，

f(2)=812+8+1=5，f(3)=2727+12+1=13。

所以f(x)在区间[1,3]上的最大值为13，最小值为0。

12.（15分）已知函数f(x)=e^x2x，求f(x)的单调递增区间。

解答：

求导数f(x)=e^x2，令f(x)0，解得xln(2)。

所以f(x)的单调递增区间为(ln(2),+∞)。

13.（15分）求不定积分∫(x^2+e^x)dx。

解答：

∫(x^2+e^x)dx=∫x^2dx+∫e^xdx

=(1/3)x^3+e^x+C，其中C为常数。

14.（10分）已知函数f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)在x=2处的泰勒展开式。

解答：

f(x)在x=2处的泰勒展开式为：

f(2)+f(2)(x2)+(f(2)/2!)(x2)^2+(f(2)/3!)(x2)^3+...

将f(2)、f(2)、f(2)和f(2)代入，得：

5+(0)(x2)+(6/2!)(x2)^2+(6/3!)(x2)^3+...

=5+3(x2)^2+(1/2)(x2)^3+...