2025年下学期初中数学基本国际牧民组织竞赛素养试卷.docVIP

2025年下学期初中数学基本国际牧民组织竞赛素养试卷

一、选择题（共10题，每题5分，共50分）

若正整数(a)、(b)满足(a^2+b^2=2025)，且(ab)，则(b-a)的最小值为（）

A.9B.15C.21D.27

解答：

2025是45的平方（(45^2=2025)），因此问题转化为寻找勾股数((a,b,45))。常见勾股数中，(27^2+36^2=729+1296=2025)，且(2736)，此时(b-a=36-27=9)。其他组合如(15^2+30\sqrt{2}^2)不符合整数条件，故最小值为9，选A。

若关于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m^2-3=0)有两个不相等的正实数根，则(m)的取值范围是（）

A.(\sqrt{3}m2)B.(2m\sqrt{7})C.(\sqrt{3}m\sqrt{7})D.(m2)

解答：

方程有两个不相等正根需满足：

判别式(\Delta=(m+2)^2-4(m^2-3)0)→(3m^2-4m-160)→(-\frac{4}{3}m4)；

两根之和(m+20)→(m-2)；

两根之积(m^2-30)→(m\sqrt{3})或(m-\sqrt{3})。

综合得(\sqrt{3}m4)，但选项中无此范围，进一步验证边界：当(m=2)时，方程为(x^2-4x+1=0)，根为(2\pm\sqrt{3})（正根），但题目要求“不相等”，而(\Delta)在(m=2)时为(16-4(1)=120)，故(m)需大于(\sqrt{3})且小于4，结合选项，选C（注：原选项可能存在印刷误差，正确范围应为(\sqrt{3}m4)，但最接近的是C）。

二、填空题（共6题，每题5分，共30分）

已知(a+\frac{1}{a}=5)，则(a^4+\frac{1}{a^4}=)__________。

解答：

由(a+\frac{1}{a}=5)，得(a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2=25-2=23)，进而(a^4+\frac{1}{a^4}=(a^2+\frac{1}{a^2})^2-2=23^2-2=529-2=527)。

如图，在(\triangleABC)中，(AB=AC=10)，(\angleBAC=120^\circ)，点(D)、(E)分别在(AB)、(AC)上，且(AD=AE=3)，连接(DE)并延长交(BC)于点(F)，则(CF=)__________。

解答：

过(A)作(AH\perpBC)于(H)，则(\angleBAH=60^\circ)，(BH=AB\cdot\cos60^\circ=5)，(BC=10)。

由(AD=AE=3)，得(\triangleADE\sim\triangleABC)（相似比(\frac{3}{10})），(DE\parallelBC)，故(\frac{AF}{AH}=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{10})，(FH=AH-AF=\frac{7}{10}AH)。

又(AH=AB\cdot\sin60^\circ=5\sqrt{3})，(CF=CH+FH=5+\frac{7}{10}\times5\sqrt{3})？？？（修正：用梅涅劳斯定理）

对(\triangleABC)及截线(DEF)：(\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{CE}{EA}=1)，(DB=7)，(CE=7)，(EA=3)，代入得(\frac{3}{7}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{7}{3}=1)→(BF=FC)，故(CF=\frac{BC}{2}=5)？？？（矛盾，正确用相似比：(DE\parallelBC)，(\frac{AD}{AB}=\frac{3}{10})，则(\frac{DF}{BF}=\frac{3}{10})，设(CF=x)，(BF=10-x)，(\frac{DF}{10-x}=\frac{3}{10})，但(DF=DE+EF)，(DE=\frac{3}{10}BC=3)，(