（人教A版）必修一数学高一上册期末复习训练 拓展2：函数与方程的综合应用（解析版）.docxVIP

拓展二：函数与方程的综合应用（精讲）

重点题型一：根据零点求参数

典型例题

1．已知函数且在上无零点，在上有零点，则实数的取值范围为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】D

函数在上无零点，在上有零点，即方程在上无实数根，在上有实数根，

即在上无实数根，在上有实数根，设，函数在上单调递增，且，恒成立，若，则在时，，故不满足条件.由于与的图象在上无交点，在上有交点，根据函数的图像可知，解得故选：D.

2．已知函数有零点，则实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

，，函数有零点，与有交点，

，即，故选：C

3．若函数恰有个零点，则的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

因为时至多有一个零点，单调函数至多一个零点，而函数恰有个零点，所以需满足有1个零点，有1个零点，所以，解得，故选：D

4．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的根，从而函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，由可知，当时，函数是周期为1的函数，如图，在同一直角坐标系中作出函数的图象和函数的图象，

数形结合可得，当即时，两函数图象有两个不同的交点，故函数有两个不同的零点.

故选：A.

5．已知函数，若函数有零点，则实数a的取值范围是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】B

若函数有零点，即有解，即，问题转化为函数的图象与函数的图象有公共点.画出函数，即的大致图象如图所示.若函数有零点，结合图象可知，当时，函数有零点，所以实数的取值范围是.

故选:B.

6．已知函数，若函数无零点，则实数a的取值范围为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

解：令，则的解为：，由题意可知：无解，

又，即，又，即，解得：．故选：A.

7．若函数（其中，）存在零点，则实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

因为时，，所以，若函数若有零点，则，解得，

故，又，∴实数的取值范围是．故选：C.

8．若方程在上有实根，则的取值范围为（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

方程即，由于，∴，即的取值范围为，故选：C.

9．若函数在上存在零点，则实数的取值范围是________．

【答案】

解：令，则有，原命题等价于函数与在上有交点，

又因为在上单调递减，且当时，，在上单调递增，

当时，作出两函数的图像，

则两函数在上必有交点，满足题意；当时，如图所示，只需，解得，即，

综上所述实数的取值范围是.故答案为：．

10．已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是____________

【答案】

令，现作出的图象，如图：

于是，当时，图象有交点，即函数有零点.

故答案为：.

11．若函数有唯一的零点，则实数_______

【答案】

解：因为，所以所以即函数图象关于轴对称，故函数的图象与轴的交点也关于对称，又因为函数有唯一零点，故根据函数的对称性可知，只能交在，0），即（2），所以．

故答案为：.

重点题型二：求函数的零点（方程的根）的个数

典型例题

1．函数的零点个数是______．

【答案】2

解：令，则，作出函数的图象，由图可知，函数的图象有两个交点，故方程有两个不同的根，所以函数有2个零点.???????故答案为：2.

2．函数的零点个数为______个．

【答案】1

解：因为在R上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减，又，，所以,所以函数的零点个数为1个，故答案为：1.

3．方程的实根个数有___________个．

【答案】

由可得画出函数与函数的图象如图所示：

由图可得两函数图象有一个交点，故方程有一个实根．故答案为：.

4．函数的零点个数为_____________；

【答案】

令，可得，则函数的零点个数等价于函数与的图象的交点个数，在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如下图所示：

由图象可知，函数与的图象只有一个交点，因此，函数的零点个数为.

故答案为：.

5．已知，则方程的不等实根一共有____________个.

【答案】4

由得，函数的图象如图：

由图可知，的图象与直线一共有个交点，所以方程的不等实根一共有个.

故答案为：4

6．函数的零点个数为__________.

【答案】2

令，即画函数与函数的图象，如下图所示

由图象可知，函数与函数有2个交点，所以函数有2个零点.

故答案为：2

重点题型三：求零点的和

典型例题

1．已知函数．若存在正实数，使得方程有三个互不相等的实根，，，则的取值范围是__________．

【答案】

由可看到，令，

作出的函数图象如图所示：

有三个不相等的实数根，，，直线与的图象有三个