（人教A版）必修一数学高一上册期末复习训练 拓展1：指数函数+对数函数综合应用（解析版）.docxVIP

拓展一：指数函数+对数函数综合应用（精讲）

目录

重点题型一：指数（型）函数的值域（最值）

典型例题

1．定义：设函数的定义域为，如果，使得在上的值域为，则称函数在上为“等域函数”，若定义域为的函数（，）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则的取值范围为（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

当时，函数在上为减函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，

则存在，（）使得，所以，消去，得，

令，则，当时，，所以在上是单调增函数，

所以符合条件的，不存在.当时，函数在上为增函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在，（）使得，，即方程在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根，设函数（），则，

当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极大值，也是最大值，所以，又，，

故，即.故选：C.

2．若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】B

解：因为，所以的定义域为，，

当时，则在上单调递增，所以；

要使定义域和值域的交集为空集，显然，当时，

若则，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，

若时在上单调递减，此时，则，

所以，解得，即故选：B

3．已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

因函数的值域是，于是得函数的值域是，因存在实数，使得，则，因此，，解得，所以的取值范围是.

故选：B

4．已知，则函数的值域为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

函数是R上偶函数，因，即函数在R上单调递增，而，，令，则，因此，原函数化为：，显然在上单调递增，则当时，，所以函数的值域为.故选：A

5．设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．

【答案】

解：由，得，即，???

，，则，

，则，即．故答案为：

6．函数的最大值为_________．

【答案】

设，因为，所以当时，有最大值，当时，有最小值，即，

所以，即的取值范围是，所以函数的最大值为，故答案为：.

7．已知当时，不等式9x－m·3x＋m＋10恒成立，则实数m的取值范围是________．

【答案】

令3x＝t，当时，，则f（t）＝t2－mt＋m＋10在上恒成立，即函数在的图象在x轴的上方，而判别式，

故或，解得.故答案为：.

8．已知，，若对，，，则实数的取值范围是_________.

【答案】

因为对，，，所以只需即可，因为，，所以，，由，解得故答案为：.

9．若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____．

【答案】（﹣∞，﹣2]

设，若函数的值域为，，则等价于，是值域的子集，

，设，则，则，

，当对称轴，即时，不满足条件．

当，即时，则判别式△，即，则，

即实数的取值范围是，.

故答案为：，

10．已知函数为偶函数，如有．

(1)求k的值；

(2)对任意，存在使得成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)(2)

(1)因为函数为偶函数，所以，

，即k的值为1.

(2)由（1）知，，

因为对任意，存在使得成立，

所以，设，，

，，所以根据对勾函数的性质可得在上单调递增，

即，所以在上有解，即在上有解．

即，设，因为，所以值域为，

所以，即．

11．已知函数是上的奇函数，且

(1)求实数，的值，并求的值域；

(2)函数满足，若对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值.

【答案】(1)，，值域为；(2).

(1)解：由是上的奇函数，那么，则.

由可得，，解得，

所以，又，则，所以的值域为.

(2)解：时，，所以，

由得：，

即，即在上恒成立.

令，，且，

，

∵，∴，，，

∴，即，∴在单调递增.

当时，，所以，，

令，则，在单调递增.

，因此，所以的最大值为.

12．定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.

(1)证明：在上是有界函数；

(2)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

【答案】(1)证明见解析(2)

(1)解：，则在上是严格增函数，

故，即，故，故是有界函数；

(2)因为在上是以3为上界的有界函数，

所以在上恒成立，令，则，

所以在时恒成立，所以，在时恒成立，

函数在上严格递减，所以；

函数在上严格递增，所以.

所以实数a的取值范围是.

13．已知函数.

(1)当时，求方程的解；

(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)2(2)

(1)当时，由，可得，

则，所以或（舍去），解得.故方程的解为2.

(2)由题意知在上恒成立，即在上恒成立.

又因为，所以，则.

因为，所以，所以，即的取值范围是.

14．设函数，．

(1)求函数的值域；

(2)设函数，若对，，