15.3 角的平分线 教案(2个课时)沪科版数学八年级上册.docxVIP

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15.3角的平分线

第1课时角的平分线的尺规作图

教学目标

1.掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性.

2.掌握过一点作已知直线的垂线的尺规作法.

3.培养学生用直尺和圆规作图的能力及语言表述能力.

4.培养学生分析问题和解决问题的能力.

5.在探究作已知角的平分线的方法及作垂线的方法中，培养学生的几何直观；培养学生探究问题的兴趣，增强探究问题的信心；体验数学活动的探索性和创造性.

教学重难点

教学重点

角平分线及垂线的尺规作法.

教学难点

角平分线的尺规作法的探索过程.

教学过程

一、情境导入

1.什么是角平分线？

2.如图，已知∠AOB，如何作∠AOB的平分线？

3.度量法：用量角器作∠AOB的平分线.

4.说明：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴.

5.设问：除了这种方法，还有什么方法能作∠AOB的平分线呢？

二、合作探究

探究点角的平分线的尺规作图

典例如图，以点B为圆心，任意长为半径画弧，与角的两边分别相交于点A，C，分别以点A，C为圆心，相同的半径画弧，相交于点D，则BD是角的平分线的依据是（）

A.SSS B.SAS

C.ASA D.AAS

［解析］由作图可知，△ABD和△CBD中，BA＝BC，AD＝CD，再加上BD为公共边，可由SSS判定两个三角形全等.

［答案］A

三、板书设计

角的平分线的尺规作图

1.已知∠AOB，求作：∠AOB的平分线.

2.经过一点作已知直线的垂线.

教学反思

本节课开头设计的折纸和画一画的活动，丰富了学生对角平分线性质的感知，有利于学生借助直观图从而准确地用文字语言揭示角平分线的性质.

第2课时角平分线的性质和判定

教学目标

1.使学生掌握角平分线性质定理及其逆定理，培养学生探索知识的能力.

2.使学生了解能利用角平分线性质定理及其逆定理证明角或线段相等.

3.从事物特殊性入手，总结归纳事物的一般性.体现在研究问题时注意纯粹性与完备性，准确、全面地思考问题.

4.渗透点的集合的数学思想.

教学重难点

教学重点

角平分线的性质和判定；点到角的边的距离要强调垂直关系.

教学难点

分清文字命题中的题设（已知）和结论，掌握证明题格式；把角平分线看作点的集合.

教学过程

一、情境导入

我们已经学习过角的平分线的概念，它有什么重要性质呢？怎样找到这个角的平分线？

（1）有一张剪好的纸片（如图1），怎样找到这个角的平分线？（引导学生回答）

图1图2图3

（2）大家知道，只要把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把纸片展开后的折痕就是这个角的平分线，如图2.如果我们把对折后的纸片继续折一次，然后把纸片展开，就会出现两条折痕，如图3中的PM和PN，不难发现，这两条折痕的长相等，而且这种等长的折痕我们可以找出无数对.由此可见，角的平分线除了有平分角的性质，还有其他的性质.

二、合作探究

定理1角平分线上的点到角两边的距离相等.

题设：一个点在一个角的平分线上.

结论：它到角的两边的距离相等.

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.

求证：PD＝PE.

证明：∵OC是∠AOB的平分线，（已知）

∴∠AOC＝∠BOC.（角平分线的定义）

∵PD⊥OA，PE⊥OB，（已知）

∴∠PDO＝∠PEO＝90°.（垂直的定义）

在△PDO和△PEO中，

∵∠

∴△PDO≌△PEO.（AAS）

∴PD＝PE.（全等三角形的对应边相等）

定理应用所具备的条件和定理的作用：条件有3个，分别是角的平分线、点在该平分线上和垂直距离，作用是证明线段相等.

如图，填写使BC＝BD成立所需的条件.?

猜想图中，由BC⊥AC于点C，BD⊥AD于点D，BC＝BD，可以得到什么结论？

定理2角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD＝PE，如图.

求证：点P在∠AOB的平分线上.

证明：经过点P作射线OC.

∵PD⊥OA，PE⊥OB，（已知）

∴∠PDO＝∠PEO＝90°.（垂直的定义）

在Rt△PDO和Rt△PEO中，

OP

∴Rt△PDO≌Rt△PEO.（HL）

∴∠AOC＝∠BOC.（全等三角形的对应角相等）

∴OC是∠AOB的平分线.

∴点P在∠AOB的平分线上.

由定理1，2可知：在角的内部，到角两边距离相等的点，都在这个角的平分线上；反过来，角平分线上的点到角两边的距离相等.于是得到下面的结论：

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.

探究点三角形三条内角平分线相交于一点

典例已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BE与∠ACB的平分线CF相交于点P.

求证：AP平分