导学案 综合与实践　进位制的认识与探究 2025-2026学年人教版数学七年级上册.docxVIP

第二章有理数的运算

综合与实践进位制的认识与探究

【学习目标】

1.理解不同进位制的概念，掌握二进制与十进制、八进制之间的转换方法，培养数学抽象素养.

2.能熟练进行二进制数的加法运算，提升数学运算素养.

3.探究不同进位制之间的联系与规律，增强逻辑推理素养.

重点：1.二进制、十进制、八进制之间的相互转换.

2.二进制数的加法运算法则及应用.

难点：1.理解进位制转换的原理并能灵活运用.

2.准确进行二进制数的加法运算及运算过程中的进位处理.

【情境导入】

知识链接

通过计算机存储数据、电子电路信号等生活实例引入进位制概念，说明不同进位制在实际中的应用，引发学生兴趣.

【新知探究】

探究点1：探索不同进位制的数之间的转换

任务1：把二进制数（1011）2转换成十进制数.

任务2：把89转换为二进制数和八进制数.

归纳小结：

二进制转十进制：从右至左用二进制的每个数去乘2的相应位数次幂（幂次从0开始），再将其每个数进行相加.

十进制转二进制：用十进制数除以2，取余数，然后将商继续除以2，直到商为0，再将余数从下往上排列.

十进制转八进制：用十进制数除以8，取余数，然后将商继续除以8，直到商为0，再将余数从下往上排列.

探究点2：探索进位制的加法运算

（1）计算：（10010）2＋（111）2.

（2）①计算：45＋23；②把45，23转换为二进制并求和；③写出你的发现.

归纳小结：二进制加法运算遵循特定规则，注意进位处理.十进制数先转换为二进制数进行二进制加法运算后再转回十进制数，结果与十进制直接运算相同，体现了不同进位制运算的内在联系.

【课堂小结】

进位制探究知识要点

【当堂反馈】

1.一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制数.例如，（1011）2＝1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝11.将（110011）2转化成十进制数是（）

A.31 B.41 C.51 D.61

2.进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制.在二进制中，只有0和1两个数字，部分十进制数和二进制数转化如下表：

十进制

0

1

2

3

4

5

6

二进制

0

1

10

11

100

x

110

则表中x的值为（）

A.110 B.100 C.101 D.1110

3.把十进制数37转换为二进制数为.

4.已知（110）2＋（x）2＝（1001）2，则x为.

5.小明在学习了“进位制”的知识后，掌握了不同进位制的数之间的转换方法，如将二进制数（101）2，换算成十进制数应为（101）2＝1×22＋0×21＋1×20＝5.如图是小明采用“五进制”记数的方法所画的图形，从右向左，用涂黑的圆表示数，满五进一，表示的“五进制”数为（0123）5，则此图表示的十进制数为.

6.进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制.也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.如将二进制数（1011）2化为十进制数为（1011）2＝1×23＋0×22＋1×21＋1＝11.

（1）将二进制数（1101）2化为十进制数为.

（2）现有三进制数a为（221）3，二进制数b为（10111）2，比较大小：ab.（填“＞”“＜”或“＝”）

参考答案

【新知探究】

探究点1：探索不同进位制的数之间的转换

任务1：

解：根据二进制转换十进制的方法，（1011）2＝1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝8＋0＋2＋1＝11.

任务2：

解：二进制转换解答：89÷2＝44……1，44÷2＝22……0，22÷2＝11……0，11÷2＝5……1，5÷2＝2……1，2÷2＝1……0，1÷2＝0……1，从下往上取余数得（1011001）2.

八进制转换解答：89÷8＝11……1，11÷8＝1……3，1÷8＝0……1，从下往上取余数得（131）8.

探究点2：探索进位制的加法运算

（1）解：二进制加法运算法则是0＋0＝0，0＋1＝1，1＋0＝1，1＋1＝10（向高位进1）.

个位：0＋1＝1；

十位：1＋1＝10，本位写0，向百位进1；

百位：0＋1＋1（进位）＝10，本位写0，向千位进1；

千位：0＋0＋1（进位）＝1；

万位：1＋0＝1.所以结果是（11001）2.

（2）解：①45＋23＝68.

②45转换为二进制：45÷2＝22……1，22÷2＝11……0，

11÷2＝5……1，5÷2＝2……1，2÷2＝1……0，

1÷2＝0……1，得（101101）2.

23转换为二进制：23÷2＝11……1，11÷2＝5……1，5÷2＝2……1，2÷2＝1……0，

1÷2＝0……1，得（10111）2.

个位：