(人教B版)2025秋高中数学必修三同步讲义第07讲正弦函数的性质与图像(2个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固)(学生版+解析).docxVIP

第07讲正弦函数的性质与图像

课程标准

学习目标

1.掌握的周期性、奇偶性、单调性和最值；

2.会用正弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题；

3.会利用五点作图法画出正弦函数的图象。

1.了解正弦曲线的画法，能错误使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图象，重点提升直观想象核心素养；

2.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的周期、单调区间和最值，并能利用正弦函数的图象与性质解决相关问题，重点提升数学运算核心素养。

知识点01正弦函数的性质

定义域与值域：

定义域为，值域为

当且仅当，时，函数的最小值为；

当且仅当，时，函数的最小值为；

奇偶性：

正弦函数是奇函数，其图像关于原点中心对称；

周期性：

(1)周期：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．

(2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．

单调性：

在上单调递增，在上单调递减（）；

正弦函数的零点：

正弦函数的零点是

【即学即练1】

1．（23-24高一上·陕西西安·期末）使得函数为减函数，且值为负数的区间为（????）

A． B． C． D．

2．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知函数，则（???）

A．在上单调递增 B．曲线关于直线对称

C．曲线关于点对称 D．曲线关于直线对称

知识点02正弦函数的图像

1、图像

2、对称轴与对称中心：对称轴方程；对称中心（）

3、五个关键点：,,,,

【解读】（1）作正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数；

（2）在精确度要求不高的情况下，“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五个点要用平滑的曲线连接，而不能用线段连接；

（3）五个关键点是利用五点法作图的关键，要熟记并区分正弦函数图像中的五个关键点。

【即学即练2】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知函数，

(1)用五点法画函数的图象；

(2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数.

题型01五点作图法画正弦函数图象

【典例1】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）列表描点连线五点作图画在上的图像.

【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）用“五点法”作出函数的简图？

【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像：

(1)，；

(2)，.

题型02正弦函数的单调性

【典例2】下列关于函数，的单调性的叙述，错误的是（????）

A．在上单调递增，在上单调递减

B．在上单调递增，在上单调递减

C．在及上单调递增，在上单调递减

D．在上单调递增，在及上单调递减

【变式1】（23-24高一上·北京大兴·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（????）

A． B．

C． D．

【变式2】函数的一个单调递减区间是（????）

A． B．

C． D．

【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的单调区间：

(1)；

(2)；

题型03含sinx函数的奇偶性

【典例3】（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数，则“”是“函数是偶函数”的（????）

A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【变式1】（24-25高一上·吉林长春·期末）下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（????）

A． B． C． D．

【变式2】（23-24高一上·四川凉山·期末）已知函数，且，则（????）

A． B． C．0 D．1

【变式3】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数，若，则．

题型04正弦函数的值域与最值

【典例4】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）函数，的值域是（???）

A． B． C． D．

【变式1】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）设集合，，则（????）

A． B． C． D．

【变式2】函数，的值域是（????）

A． B．

C． D．

【变式3】（23-24高一下·上海·期中）函数最小值为．

【变式4】（24-25高一·上海·随堂练习）函数，的值域是．

【变式5】函数的值域为（）

A．B．

C．D．

题型05由正弦函数图象解不等式

【典例5】（24-25高一上·全国·课后作业）在上，函数的定义域是（????）

A． B．

C． D．

【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）在内，不等式的解集是.

【变式2】（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为