第四章　4．8　解三角形在实际问题中的应用.docxVIP

4．8解三角形在实际问题中的应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

测量中的几个有关术语

术语

名称

术语意义

图形表示

仰角与

俯角

在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂平面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角

方位角

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ360°

方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α

例：

坡角与

坡比

坡面与水平面所成的锐二面角叫做坡角（θ为坡角）；坡面的垂直高度与水平长度之比叫做坡比（坡度），即i＝eq\f(h,l)＝tanθ

1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

(1)西南方向与南偏西45°方向相同．(√)

(2)仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(×)

(3)方位角是从正北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(√)

(4)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)

2．（人教A版必修第二册P51T3改编）如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的(D)

A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上

C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上

解析：由条件及题图可知，△ABC为等腰三角形，所以∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上．故选D.

3．（人教A版必修第二册P49例10改编）新疆国际大巴扎丝绸之路观光塔是乌鲁木齐的地标性建筑．如图，某同学为测量观光塔的高度OP，在观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物MN，在地面上点Q处（O，Q，N三点共线且在同一水平面上）测得建筑物MN的顶部M的仰角为eq\f(π,6)，测得观光塔的顶部P的仰角为eq\f(π,4)，在建筑物MN的顶部M处测得观光塔的顶部P的仰角为eq\f(π,12)，则观光塔的高OP为(B)

A．40eq\r(2)米 B．80米

C．80eq\r(2)米 D．40eq\r(3)米

解析：由题意可得PQ＝eq\r(2)OP，MQ＝2MN＝80（米），∠PMQ＝eq\f(π,4)，则∠MPQ＝π－eq\f(π,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4)－\f(π,6)))＝eq\f(π,6).在△PMQ中，由正弦定理可得eq\f(MQ,sin\f(π,6))＝eq\f(PQ,sin\f(π,4))，即eq\f(80,\f(1,2))＝eq\f(\r(2)OP,\f(\r(2),2))，解得OP＝80米．故选B.

4．（人教A版必修第二册P49例9改编）如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到点C的距离分别为AC＝3km，BC＝4km，且∠ACB＝60°，则隧道AB的长度为(C)

A．3km B．4km

C．eq\r(13)km D．eq\r(17)km

解析：由余弦定理可得AB＝eq\r(AC2＋BC2－2AC·BC·cosC)＝eq\r(9＋16－2×3×4×\f(1,2))＝eq\r(13)(km).故选C.

考点1测量距离问题

【例1】（2024·山东临沂一模）在同一平面上有相距14千米的A，B两座炮台，A在B的正东方．某次演习时，A向北偏西eq\f(π,2)－θ方向发射炮弹，B向北偏东eq\f(π,2)－θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18千米外的同一目标，接着A改向向北偏西eq\f(π,2)－eq\f(θ,2)方向发射炮弹，弹着点为18千米外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为(D)

A．7千米 B．8千米

C．9千米 D．10千米

【解析】如图，依题意设炮弹第一次命中点为C，则AB＝14千米，AC＝BC＝AM＝18千米，∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝eq\f(θ,2)，在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosθ，即182＝142＋182－2×14×18cosθ，解得cosθ＝eq\f(7,18)，所以cosθ＝2cos2eq\f(θ,2)－