第七章　7．1　基本立体图形.docxVIP

eq\a\vs4\al(第七章)立体几何与空间向量

7．1基本立体图形

1．了解柱体、锥体、台体、球及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

2．知道球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．

3．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图．

1．棱柱、棱锥、棱台

项目

棱柱

棱锥

棱台

图形

定义

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体

结构

特征

底面互相平行且全等；侧面都是平行四边形；侧棱都相等且互相平行

底面是一个多边形；侧面都是三角形；侧面有一个公共顶点

上、下底面互相平行且相似；各侧棱延长线交于一点；各侧面为梯形

2.圆柱、圆锥、圆台、球

项目

圆柱

圆锥

圆台

球

图形

定义

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分

以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体

结构

特征

母线互相平行且相等，并垂直于底面；轴截面是全等的矩形；侧面展开图是矩形

母线相交于一点；轴截面是全等的等腰三角形；侧面展开图是扇形

母线延长线交于一点；轴截面是全等的等腰梯形；侧面展开图是扇环

截面是圆

简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体．其构成形式主要有：由简单几何体拼接而成，或由简单几何体截去或挖去一部分而成．

3．直观图

(1)画法：常用斜二测画法．

(2)规则：

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴与y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴的夹角为90°．

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半．

4．简单几何体的表面积与体积

(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积

项目

圆柱

圆锥

圆台

侧面展

开图

侧面积

公式

S圆柱侧＝2πrl

S圆锥侧＝πrl

S圆台侧＝

π(r＋r′)l

其中r，r′为底面半径，l为母线长．

(2)柱体、锥体、台体、球的表面积和体积

几何体

表面积

体积(S是底面积，

h是高)

柱体(棱柱

和圆柱)

S表＝S侧＋2S底

V＝Sh

锥体(棱锥

和圆锥)

S表＝S侧＋S底

V＝eq\f(1,3)Sh

台体(棱台

和圆台)

S表＝S侧＋

S上＋S下

V＝eq\f(1,3)(S上＋

S下＋eq\r(S上S下))h

球(R是

半径)

S表＝4πR2

V＝eq\f(4,3)πR3

5.常见四棱柱及其关系

教材拓展

1．与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

(2)夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等(祖暅原理).

2．水平放置的平面图形的直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形，S原图形＝2eq\r(2)S直观图．

1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)水平放置的菱形的直观图仍是菱形．(×)

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(×)

(3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(×)

(4)锥体的体积等于底面积与高的积．(×)

2．如图，三角形A′B′C′是水平放置的三角形ABC的直观图，则三角形ABC的面积是18．

解析：由直观图画出原图，如图，可得三角形ABC是等腰三角形，且BC＝6，OA＝6，所以三角形ABC的面积S＝eq\f(1,2)×6×6＝18.

3．(人教A版必修第二册P119练习T1改编)圆锥SO的母线与底面所成角为60°，高为3eq\r(3)，则该圆锥的侧面积为18π．

解析：如图，由题可知SA＝eq\f(3\r(3),sin60°)＝6，OA＝eq\r(SA2－SO2)＝3，所以该圆锥的侧面积为π×3×6＝18π.

4．(人教B版必修第四册P85例2改编)已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为6，且A1B1＝2AB＝4，则该四棱台的体积为56．

解析：根据棱台的体积公式可得VABCD-A1B1C1D1＝eq\f(1,3)×(22＋42＋eq\r(22×42))×6＝56.

考点1