第七章　7．5　几何法求空间角和距离.docxVIP

7．5几何法求空间角和距离

1．理解空间角和空间距离的概念．

2．会利用几何法求线面角、二面角、距离．

考点1求距离

【例1】(1)如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为(A)

A．2eq\r(3) B．2eq\r(5)

C．eq\r(2) D．4

【解析】如图，取PA的中点M，连接BM，CM.因为PB⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PB⊥BC，又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又PA?平面PAB，所以BC⊥PA.因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC?平面BCM，所以PA⊥平面BCM.又CM?平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离．在等腰直角三角形PAB中，BM＝eq\f(\r(2),2)PB＝2eq\r(2)，在Rt△BCM中，CM＝eq\r(BM2＋BC2)＝eq\r(8＋4)＝2eq\r(3)，故点C到直线PA的距离为2eq\r(3).故选A.

(2)已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，2eq\r(2)，2eq\r(2)，则该四棱锥的高为(D)

A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(3),2)

C．2eq\r(3) D．eq\r(3)

【解析】如图，底面ABCD为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设PA＝PB＝AB＝4，PC＝PD＝2eq\r(2).

分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，PF，EF，则PE⊥AB，EF⊥AB，且PE∩EF＝E，PE，EF?平面PEF，可知AB⊥平面PEF，又AB?平面ABCD，所以平面PEF⊥平面ABCD.过P作EF的垂线，垂足为O，即PO⊥EF，由平面PEF∩平面ABCD＝EF，PO?平面PEF，所以PO⊥平面ABCD.由题意可得PE＝2eq\r(3)，PF＝2，EF＝4，则PE2＋PF2＝EF2，即PE⊥PF，则eq\f(1,2)PE·PF＝eq\f(1,2)PO·EF，可得PO＝eq\f(PE·PF,EF)＝eq\r(3)，所以四棱锥的高为eq\r(3).当相对的棱长相等时，不妨设PA＝PC＝4，PB＝PD＝2eq\r(2)，因为BD＝4eq\r(2)＝PB＋PD，此时不能形成三角形PBD，与题意不符，这样的情况不存在．故选D.

1．求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形或等面积法求解．

2．求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解；若不易作出点面距，可借助等体积法求解．

【对点训练1】(2024·全国甲卷文)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，EF∥AD，BC∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，ED＝eq\r(10)，FB＝2eq\r(3)，M为AD的中点．

(1)求证：BM∥平面CDE；

(2)求M到平面FAB的距离．

解：(1)证明：由题意知MD＝2，BC＝2，MD∥BC，所以四边形BCDM为平行四边形，故BM∥CD，又因为BM?平面CDE，CD?平面CDE，所以BM∥平面CDE.

(2)如图，记AM的中点为G，连接FG，BG，FM，因为BM＝CD＝AB，所以BG⊥AM，同理FG⊥AM.由已知可得BG＝eq\r(3)，FG＝3，又FB＝2eq\r(3)，所以FB2＝BG2＋FG2，即FG⊥BG，又BG∩AM＝G，BG，AM?平面ABCD，所以FG⊥平面ABCD.由余弦定理和已知得cos∠FAB＝eq\f(\r(10),20)，所以△FAB的面积S＝eq\f(1,2)AF×AB×sin∠FAB＝eq\f(\r(39),2).设M到平面FAB的距离为h，故三棱锥M-FAB的体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(\r(39),6)h，又因为三棱锥F-AMB的体积为V＝eq\f(1,3)×3×eq\r(3)＝eq\r(3)，可得h＝eq\f(6\r(13),13).故M到平面FAB的距离为eq\f(6\r(13),13).

考点2求线面角

【例2】(2024·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为eq\f(52,3)，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为(B)

A．eq\f(1,2) B．1

C．2 D．3

【解析】如图，设棱台的高为h，三条侧棱延长后交于一点O，则由A