第七章　7．3　空间直线、平面的平行.docxVIP

7．3空间直线、平面的平行

1．理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．

2．掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．

1．直线与平面平行

项目

文字语言

图形语言

符号语言

判定

定理

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行

a∥α

性质

定理

一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行

?a∥b

2.平面与平面平行

项目

文字语言

图形语言

符号语言

判定

定理

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行

性质

定理

两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行

教材拓展

1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.

4．若α∥β，a?α，则a∥β.

1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)

(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)

(3)如果两个平面平行，且一条直线平行于其中一个平面，则该直线平行于另一平面．(×)

(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也互相平行．(×)

2．（人教A版必修第二册P139T3改编）α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中正确的是(C)

A．若m∥n，n∥α，则m∥α

B．若m∥α，n?α，则m∥n

C．若α∥β，m?α，则m∥β

D．若m∥n，m?α，n?β，则α∥β

解析：若m∥n，n∥α，则m∥α或m?α，故A不正确；若m∥α，n?α，则m∥n或m与n异面，故B不正确；若α∥β，则α与β没有公共点，又因为m?α，所以m与β没有公共点，所以m∥β，故C正确；若m∥n，m?α，n?β，则α∥β或α与β相交，故D不正确．故选C.

3．（人教A版必修第二册P134例1改编）如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AC与平面α交于点M，AB＝4，CD＝6，则MN＝(B)

A．4.5 B．5

C．5.4 D．5.5

解析：因为AB∥平面α，AB?平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，所以AB∥MN.又M是AC的中点，所以MN是梯形ABDC的中位线，故MN＝eq\f(1,2)(AB＋CD)＝5.故选B.

4．（人教A版必修第二册P142T2改编）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(B)

A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．以上答案都不对

解析：若α内的无数条直线均平行，此时无法推出α∥β，A错误；由面面平行的判定定理知B正确；如图，α，β平行于同一条直线m，但α，β不平行，C错误；D错误．故选B.

考点1直线与平面平行的判定与性质

命题角度1直线与平面平行的判定

【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．求证：BE∥平面PAD.

【证明】证法一如图，取PD的中点F，连接EF，FA.

由题意知EF为△PDC的中位线，

∴EF∥CD，且EF＝eq\f(1,2)CD＝2.

又∵AB∥CD，AB＝2，∴AB綉EF，

∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.

又AF?平面PAD，BE?平面PAD，

∴BE∥平面PAD.

证法二如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，

∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴eq\f(HB,HC)＝eq\f(AB,CD)＝eq\f(1,2)，即B为HC的中点，

又E为PC的中点，∴BE∥PH，

又BE?平面PAD，PH?平面PAD，

∴BE∥平面PAD.

证法三如图，取CD的中点H，连接BH，HE，

∵E为PC的中点，

∴EH∥PD，又EH?平面PAD，PD?平面PAD，∴EH∥平面PAD，

又由题意知AB綉DH，∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD，

又AD?平面PAD，BH?平面PAD，

∴BH∥平面PAD，

又BH∩EH＝H，BH，EH?平面BHE，

∴平面BHE∥平面PAD，

又BE?平面BHE，∴BE∥平面PAD.

命题角度2直线与平面平行的性质

【例2】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面B1BD与棱A1C1交于点E.求证：BB1∥DE.

【证明】在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1∥CC1，且BB1?平面AA1C